第１３回 高階の全微分と２変数のテーラーの定理 [ネコ騙し数学]
第１３回 高階の全微分と２変数のテーラーの定理
§１ 高階の全微分
z=f(x,y)の第一階の全微分
において、
が微分可能ならば、x、yに関するdzの全微分d²zを得る。すなわち、h=dx、k=dyとおけば、
同様に、
一般に
となる。
これを
と略記するとよい。
§２ ２変数関数のテーラーの定理
定理 （２変数関数のテーラーの定理）
z=f(x,y)が点(a,b)の近傍で
級であるならば、この近傍内にある(a+h,a+k)において
ここで、
である。
【証明】
とおくと、F(t)は級の関数だから、１変数のテーラーの定理より
ここで、x=a+ht、y=b+ktとおくと、合成関数の微分法から
したがって、証明すべきことは
である。
n=1のときは成立する。
n=m–1まで成り立つとすると、
よって、証明された。
（証明終了）
特に、n=2のとき、
