２次曲線プチ

２次曲線プチ

 

問題１　次の曲線を原点の周りに４５°回転してえられる曲線の方程式を求めよ。

【解】

(x,y)を原点まわりに角度θ回転して得られる点を(x',y')とすると、次の関係が成立する。

　　

逆に、(x',y')を原点まわりに角度−θ回転すれば(x,y)に戻るので、次の関係が成立する。

　　

したがって、θ=45°のとき、

　　

になる。

 

（１）　x²–y²=a²にを代入すると、

　　

（２）　x²+xy+y²=6にを代入すると、

　　

だから、

　　

（３）　x²–2xy+y²–2x–2y+1=0にを代入すると、

　　

よって、

　　

（解答終）

 

図形を回転させても図形の形は変わらないので、（１）のx²–y²=a²（a>0）は直角双曲線であり、（２）のx²+xy+y²=6は楕円。そして、（３）の曲線x²–2xy+y²–2x–2y+1=0は放物線である。

 

実は、２次曲線

　　

には、曲線の種類を判別できる、判別式D=ac–b²という判別式があり、

　　D>0のとき楕円

　　D=0のとき放物線

　　D<0のとき双曲線

になる。

 

こうなっていることを、問題の（１）、（２）、（３）の場合で確かめて欲しいにゃ。

問題２　曲線(x+y)²=4xとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。

【解】

(x+y)²=4xだから

　　

y≧0の部分は、y=2√x–xだから、

　　

（解答終）

 

問題２を解くのに２次曲線の知識は必要としないけれど、

　　

となるので、a=b=c=1となり、２次曲線の判別式を使うと、

　　

となり、この曲線が放物線であることが分かる。

このことは、この曲線を原点まわりに−45°回転すると、変換式は

　　

となるので、これを(x+y)²=4x代入すると、

　　

となることからも確かめられる。

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