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2次形式の標準化 [ネコ騙し数学]

2次形式の標準化

 

2次形式

変数xyと実係数abhで定められる関係式

  2ji-siki-001.png

2次形式という。

これは行列を使うと

  2ji-siki-002.png

で表される。

列ベクトルを転置した行ベクトル、さらに対称行列2ji-siki-003.pngとすると、

  2ji-000.png

 

  2ji-siki-004.png

 

ところで、対称行列は適当な直交行列P)を用いて

  2ji-siki-005.png

と対角化することができる。

そこで、

  

とすると、

  

と、2次形式F(x,y)=ax²+2hxy+by²を2次形式の標準形

  

にすることができる。

ここで、αβは行列Aの固有値である。


 

問題1 次の2次系式を標準化せよ。

【解】

(1) 2ji-siki-007.pngの固有方程式は

  

よって、行列Aの固有値はt=2、8。

t=2のとき

  

t=8のとき

  

したがって、t=28のときの固有ベクトルは、

  

したがって、この固有ベクトルの単位ベクトルは

  

よって、

  2ji-siki-008.png

で、

  2ji-siki-009.png

したがって、とすると、

  

 

(2) 2ji-siki-010.pngの固有方程式は

  

t=3に対する単位固有ベクトルは

  

t=−2に対する単位固有ベクトルは

  

したがって、直交行列P

  2ji-siki-011.png

となり、

  

したがって、とおくと、

  

(解答終)

 

x軸とy軸をθだけ回転した新しい座標軸をuvとする。

このとき、xy座標系での点Pの成分(x,y)と、新しいuv座標系での点Pの成分(u,v)との間には

  2ji-siki012.png

という関係がある。

行列を用いて表すと、

  2ji-siki-013.png

ここで、

  iyada-siki-000.png

とおくと、行列Pの行と列の成分を入れ替えた行列(転置行列)

  2ji-siki-014.png

となり、

  2ji-siki-015.png

したがって、iyada-siki-000.pngは直交行列。

 

⑨を2次形式F(x,y)=ax²+2hxy+by²に代入すると、

    

uvの項の係数を0にするには、θ

  

にとればよく、このようなθをとれば2次形式の標準形になる。

 

 

問題2 2次曲線2x²–2xy+2y²=9 を標準形にせよ。

【答】

  2ji-siki-019.png

だから、の対角化を図る。

行列Aの固有方程式は

  

t=1のときの固有ベクトルは

  2ji-siki-020.png

t=3のときの固有ベクトルは

  2ji-siki-021.png

固有ベクトルの正規化――大きさ1の単位ベクトルにすること――をすると、

  2ji-siki-022.png

したがって、

  2ji-siki-019.png

このようにPを選ぶと

  2ji-siki-23.png

なるケロ(実際に計算して、こうなることを確かめよ)。

だから、2ji-siki-025.pngとして、2x²–2xy+2y²=9を標準化すると、u²+3v²=9になる。

(解答終)


タグ:数学基礎

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