２次曲線の標準化の例

２次曲線の標準化の例

 

２次曲線の方程式の一般形は

　　

３×３の対称行列を用いると、

　　

となる。

なのだが、座標軸の回転に関係する部分は、（１）の２次の項（の係数）だけなので、それに対応する対称行列

　　

について、まず考える。

 

 

問題１　次の２次曲線を標準形にせよ。

　　

【解】

　　

とすると、固有方程式は

　　

t=2のとき、

　　

t=8のとき

　　

だから、大きさが１の固有ベクトルは、

　　

これは、基本ベクトル

　　

を反時計回りにθ=45°=π/4(rad)回転させたものだから、

　　

これをに代入すると、

　　

ここで、さらに

　　

と座標変換すると、

　　

よって、この曲線は楕円である。

（解答終）

 

これは図形や点を原点まわりに４５°回転させるのではなく、x軸、y軸を45°回転し、それを新しいx'軸、y'軸とする主軸変換、座標変換！！

そのため、

　　

となっている。

①式は

　　

と書き換えられるので、高校で習う１次変換とは違うことに注意！！

 

これ以上余計なことを書くと混乱させるだけだから、これ以上は書くまい。

 

 

問題２　次の２次曲線を標準化せよ。

　　

【解】
とおくと、

　　

よって、行列Aの固有値はt=0,2。

t=2のとき

　　

t=0のとき

　　

したがって、行列Aの大きさ１の固有ベクトルは、

　　

これは基本ベクトル

　　

を４５°時計回りに回展させたものだから、

　　

とし、x²–2xy+y²+2x–6 y=0に代入すると、

　　

さらに、

　　

と変換すると、

　　

となり、この曲線は放物線である。

（解答終）

 

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