２次曲線

２次曲線

 

§１　楕円

２つの定点からの距離の和が一定である動点の軌跡を楕円という。この２つの定点を楕円の焦点という。

 

焦点をF(c,0)、F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)とし、距離の和を2a（a>c>0）とすると、

　　

両辺を２乗すると、

　　

両辺を２乗すると、

　　

a²–c²=b²とおくと、楕円の方程式は

　　

 

また、このことから、楕円

　　

の焦点の座標は

　　

 

AA'=2aを長軸の長さ、長径、BB'=2bを短軸の長さ、短径という。

 

例　楕円

　　

a=5、b=4とすると、

　　

よって、焦点は(−3,0)、(3,0)。

 

a=b>0とすると、（１）は

　　

これは原点Oを中心とする半径aの円になる。そして、このとき、焦点は円の中心Oになる。

 

 

§２　双曲線

 

２定点からの距離の差が一定である動点の軌跡を双曲線という。

この２定点を双曲線の焦点という。

 

２定点をF(c,0)、F'(−c,0)、動点Pの座標を(x,y)、距離の差を2a(c>a)とする。

　　

両辺を２乗すると、

　　

両辺を２乗すると、

　　

c²–a²=b²とおくと、

　　

 

双曲線

　　

の焦点は

　　

である。

 

双曲線の漸近線は、

　　

 

 

§３　放物線

 

定点と定直線との距離が一定の動点の軌跡を放物線という。

このとき、定点を放物線の焦点、定直線を準線という。

 

定点Fの座標を(p,0)、定直線（準線）をx=–p、動点Pの座標を(x,y)とし、Pから直線x=–pにおろした垂線の足をHとする。

　　

両辺を２乗すると、

　　

 

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