陰関数定理の補足

陰関数定理の補足

 

f(x,y)はC¹の関数であるとする。

陰関数定理の主張は、

であるならば、x₀の近傍でC¹級の陰関数y=φ(x)がただ１つ存在し、

　　

であるということ。

またはという条件は、あくまで、関係式f(x,y)=0で定まるC¹級の陰関数y=φ(x)またはx=ψ(y)が存在することの十分条件であって、この条件を満たしていなくても、C¹級の陰関数y=φ(x)またはx=ψ(y)が存在することがある。このことは、次の問題を解けばわかる。

 

問題１　x³–2xy+y²=0によって定まるC¹級の陰関数y=φ(x)とφ'(0)を求めよ。

【解】

f(x,y)= x³–2xy+y²とおくと、だから、曲線x³–2xy+y²=0上の点(0,0)での偏微分係数は。

つまり、(0,0)は曲線x³–2xy+y²=0の特異点。

したがって、陰関数定理から、x₀=0近傍で、x³–2xy+y²=0によって定まるC¹級の陰関数y=φ(x)が存在するかどうかはわからない。

x³–2xy+y²=0をyについて解くと、

　　

x=0におけるy₁とy₂の右側、左側微分係数を求めると、

　　

そこで、

と定めると、φ'(0)=2となる。

また、

と定めると、φ'(0)=0になる。

（解答終）

 

問題２　x³–2xy+y²=0によって定められる陰関数

　　

と

　　

がx=0で微分可能であることを示せ。

【解】

まず、y=φ₁(x)がx=0で微分可能であることを示す。

h>0のとき、

　　

h<0のとき、

　　

したがって、y=φ₁(x)はx=0で微分可能で、である。

 

次に、y=φ₂(x)がx=0で微分可能であることを示す。

h>0のとき、

　　

h<0のとき

　　

したがって、y=φ₂(x)はx=0で微分可能で、

（解答終了）

 

y=φ₁(x)とy=φ₂(x)が開区間(−∞,1)からx=0を除いた点で微分可能なのは明らか。そして、上の問題からx=0で微分可能だから、(−∞,1)でφ₁、φ₂ともに微分可能ということになる。

タグ：微分積分 微分 偏微分

関係式f(x,y)=0で定まるC¹級の陰関数

関係式f(x,y)=0で定まるC¹級の陰関数

 

f(x,y)を

 　　

とする。

原点(0,0)の近傍で、関係式f(x,y)=0が定めるC¹級の陰関数y=φ(x)について考えることにする。

　　

だから、原点(0,0)ではとなり、陰関数定理からC¹級の陰関数y=φ(x)の存在の有無を確かめることはできない。

そこで、次のようにyについて解き、

　　

としてみる。

しかし、このように定めると、下図を見ると明らかなように、x=0で曲線y=φ₁(x)、y=φ₂(x)ともに尖っており、x=0で微分可能ではなく、ともにx=0の近傍でC¹級ではない。したがって、この関数は、x=0でf(x,y)=0が定めるC¹級の陰関数y=φ(x)ではない。

しかし、

とすると、このどちらもx=0で微分可能であり、また、x=0の近傍で滑らかな曲線になっているので、C¹級ということになる。

また、この陰関数を曲線y²=x²(x+a)の２つの枝に選ぶと、曲線y²=x²(x+a)は原点(0,0)において接線を２本引くことができる。

この他にも、この問題の場合、x=0のときに陰関数が極値になるかどうかの違いが出てくるので、注意が必要である。