SSブログ

ラグランジュの未定乗数法を使って大学入試の有名問題を解く [ネコ騙し数学]

大学入試の問題で非常に有名な問題がある。

 

問題 正の実数abca+b+c=1を満たすとき、次の問に答えよ。

(1) abcの最大値を求めよ。

(2) であることを示せ。

(3) の最小値を求めよ。

【解】

(1) 相乗平均≦相加平均より

  

よって、a=b=c=1/3のときabdの最大値は1/27

 

(2)

  

 

(3)

相加平均≧相乗平均より

  

また、(2)よりだから、

  

したがって、a=b=c=1/3のときに最小値100/3

(解答終了)

 

(2)は、シュワルツの不等式

  

を知っていれば、x=y=z=1とおき、

  

となることから、このことは容易に想像がつくが・・・。

 

(a,b,c)を原点を中心とする半径rの球の球面上x²+y²+z²=r²の点と考えると、

 

この球と平面x+y+z=1が共有点をもつ条件は、球の半径r≧平面x+y+z=1と原点との距離

  lag-siki-003.png

と解くこともできる。

等号が成立するのは、球x²+y²+z²=r²と平面x+y+z=1が接するとき。

 

(3)は、相加平均≧相乗平均だから

  lag-siki-004.png

よって、

  

したがって、最小値は12としてはいけない。最小値が12になるのはa=b=c=1のときだから、a+b+c=3≠1となり、問題の条件を満たさないからだ。

 

 

ラグランジュの未定乗数法を使うならば、次のように解くことができるだろう。

 

(1)は、 f(a,b,c)=abcg(a,b,c)=a+b+c–1=0とし、

  

とすると、

  

a≠0b≠0c≠0だから、abcで割ると

  

また、a+b+c=1だから、a=b=c=1/3

したがって、f(a,b,c)=abcの極値は

  

 

(2)は、f(a,b,c)=a²+b²+c²とし、

  

とすると、

  

これとa+b+c=1より、a=b=c=1/3となり、f(a,b,c)の極値は

  

 

(3)は、とおき、

  lag-siki-006.png

とすると、

  lag-siki-009.png

よって、

  lag-siki-007.png

何故ならば、a>0b>0のとき

  lag-siki-008.png

だから。

同様に、b=c

よって、a=b=c=1/3

したがって、f(a,b,c)の極値は

  

 

厳密なことを言うと、ラグランジュの未定乗数法を用いるとき、(1)、(2)、(3)のいずれの場合も、a=b=c=1/3のときにf(a,b,c)が極値であることを証明しないといけない。何故ならば、(a,b,c)=(1/3,1/3,1/3)は、あくまでf(a,b,c)が極値をもつ候補の点に過ぎず、この点で極値をとる保証がないから。そして、この証明はそれほど簡単なものではない。

 


この広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。