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直交曲線群 [ネコ騙し数学]

直交曲線群

 

パラメータc、1個の平面曲線群

  

のすべての曲線に一定の角度αで交わる曲線を等角直線といい、とくにα=±π/2α=±90°)のとき直交曲線という。

微分方程式

  

で与えられる曲線群に対する直交曲線群の微分方程式は

  

である。

 

chokkou-graph-000.png曲線y=φ(x)に点P(x,y)y=ψ(x)で直交するとすると、すなわち、点Pにおけるy=φ(x)y=ψ(x)の接線が直交するとすると、この曲線の接線の傾きφ'(x)ψ'(x)の積は−1

したがって、

  

(1)に代入すると、

  

ここで、改めて

  

とおくと、(1’)は(2)になるというわけ。

 

 

例題 放物線y=ax²a≠0の任意実数)に直交する曲線群の方程式を求めよ。

chokkou-graph-001.png【解】

  

xで微分すると、

  

×2−②×x

  

x≠0とすると、

  

曲線y=ax²に点P(x,y)における曲線の傾きをとすると、

xy≠0のとき、

  

したがって、

  

xy=0のとき、y=ax²x軸に接するからy=0は直交する曲線になる(特異解)。

したがって、y=0が直交曲線群である。

(解答終)

 

y=ax²を、

x≠0のとき

  

と変形し、さらに、この両辺をxで微分し

  

として、aを消去することもできる。

 

問題 次の曲線群と直交する曲線群を求めよ。

【解】

chokkou-graph-002.png(1)

  

の両辺をxで微分すると、

  

P(x,y)においてxy=kに直交する曲線の勾配をdy/dxとすると、

  

 

(2)

  

の両辺をxで微分すると、

  chokkaku.png

y–1≠0のとき

  

P(x,y)においてxy=kに直交する曲線の勾配をdy/dxとすると、

  

を変数分離法で解くと、

  chokkou-siki-001.png

y=1は円群x²+y²+2x–2y+C=0に直交し、これは①のa=0の場合(特殊解)(※)。

x=−1も円群x²+y²+2x–2y+C=0に直交する(特異解)。

だから、y–1=a(x+1)aは任意定数) とx=−1

chokkou-graph-003.png

(解答終)

 


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