曲率円(接触円)を求める [ネコ騙し数学]
曲率円(接触円)を求める
曲線y=f(x)上の点P(x₀,f(y₀))における曲線y=f(x)の曲率円(接触円)を求める前に、復習。
曲率円
曲線y=f(x)上の点P(x₀,y₀)において
で定まる円
を曲率円(接触円)という。
問題 次の曲率円を求めよ。
(1) 放物線y=x²上の点x=0とx=1における曲率円。
(2) 双曲線y=1/x上の点x=1における曲率円。
(3) 曲線y=logx上の点x=1における曲率円。
【解】
(1) y=f(x)=x²だから、f’(x)=2x、f''(x)=2。
x=0ではf(0)=0、f'(0)=0、f''(0)=2。
したがって、曲率円は
である。
x=1では、f(1)=1、f'(1)=2、f''(1)=2。
よって、x=1における曲率円は
である。
(2) y=f(x)=1/xだから、
x=1では、f’(1)=−1、f''(1)=2
よって、x=1における曲率円は
である。
(3) y=f(x)=logxとおくと、
である。
x=1では、f(1)=0、f'(1)=1、f''(1)=−1。
よって、x=1における曲率円は
(解答終)