ディラックのデルタ関数

ディラックのデルタ関数

 

ディラックのデルタ関数δ(x)とは、次の性質をもつ超関数のことである。

　　

 

このディラックのデルタ関数の性質を調べるためには、通常の微分積分の範囲を超える数学の知識が必要になるので、物理の本を参考にして、デルタ関数の性質をいくつか紹介することにする。

 

まず、

　　

x≠0ではδ(x)=0だから、x≠0のf(x)の値は積分の値に無関係で寄与しない。

したがって、

　　

 

また、

　　

である。

これは、x–a=tとおくと、x=t+a

　　

この積分の値に関係するのは、 （１）からt=0のときのf(t+a)の値。

したがって、

　　

 

次に

　　

である。

f(x)を任意の関数とする。

　　

よって、

　　

である。

 

さらに、

　　

f(x)を任意の関数にすると、

　　

t=−xとおくと、x=−tだから、x=−∞はt=∞、x=∞はt=−∞に対応する。

また、dx=−dtだから

　　

したがって、

　　

である。

 

さらにさらに、

　　

f(x)を任意の関数とする。

　　

を考える。ax=tとおくと、dx=dt/aだから

　　

よって、

　　

である。

 

最後に、デルタ関数の微分

　　

f(x)を任意の関数とし、次の積分を考える。

　　

−x=tとおくと、

　　

これに部分積分を施すと、

　　

また、

　　

したがって、任意の関数f(x)について

　　

 

以上のことをまとめると、ディラックのデルタ関数には次のような性質がある。

　　

 

（ⅰ）はデルタ関数δ(x)が偶関数であることを表し、デルタ関数の導関数δ'(x)が奇関数であることを表している。

 

 

ディラックのデルタ関数は、正規分布の密度関数

　　

の極限で与えられることが知られている。

したがって、デルタ関数は正規分布の密度関数の一種と考えることができる。

 

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