ベクトルの微分の問題 [ネコ騙し数学]
ベクトルの微分の問題
問題1 曲線上を運動する質点Pの原点に対する位置ベクトルをr、曲線上の定点からPまでの曲線の長さをs、時間をtとすれば、接線ベクトルaの接線成分、法線成分は
であることをしめせ。
ここで、 、ρは曲率半径とする。
【解】
P点の速度ベクトルvは
よって、
ここで、κは曲率で
したがって、
である。
(解答終)
補足
tは点Pにおける曲線の単位接線ベクトルだから
これを時間tで微分すると、
これからtと、すなわち、が直交していることがわかる。
問題2 次の螺旋曲線の(単位)接線ベクトル、主法線ベクトル、従法線ベクトル、さらに曲率κと捩率τを求めよ。
【解】
したがって、
よって、
単位接線ベクトルtは
また、
ゆえに、曲率κは
よって、主法線ベクトルnは
従法線ベクトルbは
これから、
となり、捩率τは
(解答終)