第１回 変数分離形 [ネコ騙し数学]
第１回 変数分離形
未知関数yの導関数を含む方程式を微分方程式といい、これを満たす関数をその解、解を求めることを微分方程式を解くという。
微分方程式に含まれる未知関数の導関数の最高階数を微分方程式の階数という。例えば、y''=yは１階、y''+y=0は２階の微分方程式である。
n階の微分方程式の解でn個の任意定数をもつものを一般解、任意定数に特別の値を与えたものを特殊解という。特殊解でないものを特異解という。
例１ 微分方程式
の場合、y=C₁cosx+C₂sinxは一般解。この一般解にC₁=1、C₂=0を与えたy=cosxは特殊解。
例２ 微分方程式
の場合、y=Cx+C²は一般解、
は特異解。
y(x)についての１階の微分方程式の一般形は
である。
特に、
について解かれているとき正規形という。すなわち、
また、（２）式のG(x,y)がxだけの関数φ(x)とyだけの関数ψ(y)の積φ(x)ψ(y)である場合、変数分離形という。すなわち、
例３
はdy/dxについて解かれていないので正規形でなく、非正規形である。
これをdy/dxについて解いた
は正規形。
は、xだけの関数φ(x)=1/xとyだけの関数の積ψ(y)=yの形になっているので、変数分離形である。
変数分離形
の解は
問題１ 次の微分方程式を解け。
【解】
（１）
（２）
両辺を(1+x²)(1+y²)で割ると
は定数だから
とおくと、
（解答終）
例えば、次の微分方程式があるとする。
これは、x+y=tとおき、この両辺をxで微分すると、
これを（４）式に代入すると、
と一般形を求めることができる。
この微分方程式のように、変数を置き換えことによって、微分方程式を変数分離形に変換することができる場合がある。
