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第4回 1階線形微分方程式の解法 [ネコ騙し数学]

第4回 1階線形微分方程式の解法

 

1階線形微分方程式の一般形は

  

で与えられる。

定数変化法を用いて、(1)の一般解を求めることにする。

最初に、同次微分方程式の

  

の一般解を求めると、

  

が得られる。

この任意定数c₁を関数u(x)で置き換え、(1)を満たすようにu(x)を定める。

そこで、

  

を(1)に代入すると、

  

したがって、(1)の一般解は

  

である。

 

 

問題1 次の微分方程式を解け。

【解】

(1)

であるが、c₁=0として一般解を求める。

公式(2)より

  

 

(2)

  

したがって、

  

よって、公式(2)より

  

(解答終)

 

 

問題2 次の微分方程式を解け。

【解】

 

(1)

  

 

(2)

  

だから、微分方程式

  

の両辺にをかける。

  

(解答終了)

 

公式(2)を用いて機械的に一般解を求めるより、問題2の(2)のように解いたほうがよいと思う。

 

 

問題3 一階線形微分方程式

  

の一つの特殊解がy₁であるとき、一般解は

  

であることを示せ。

【解】

一般解yと特殊解y₁は微分方程式(1)の解なので

  

①と②の両辺の差をとると、

  

φ=y–y₁とおくと、

  

この微分方程式の一般解は

  

よって、

  

(解答終了)

 


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