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第5回 ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式 [ネコ騙し数学]

第5回 ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式

 

§1 ベルヌーイ形

 

  bel-siki-000.png

ベルヌーイ形の微分方程式という。

(1)の両辺をで割ると、

  

とおき、この両辺をxで微分すると

  

となるから、tの線形の微分方程式

  

を得る。

この微分方程式を解くことによって、ベルヌーイ形の微分方程式(1)を解くことができる。

 

問題1 次の微分方程式を解け。

【解】

(1) この微分方程式はn=2のときのベルヌーイ形の微分方程式。

両辺をで割ると、

  

そこで、

  

とおき、両辺をxで微分すると、

  

したがって、①は

  

となる。

よって、

  bel-siki-001.png

 

(2) この微分方程式はn=−3のときのベルヌーイ形の微分方程式。

両辺をy⁻³で割ると、すなわち、をかけると、

  

そこで、

  

とおき、両辺をxで微分すると、

  

よって、①は

  

両辺をx⁴で割ると、

  bel-siki-002.png

(解答終)

 

 

§2 リッカチ形

 

y(x)についての1階微分方程式

  

リッカチの微分方程式という。

これは一般に解くことはできないが、1つの特殊解y₁が既知であるとき次のように解くことができる。

y₁は(2)の特殊解だから、

  

(2)の両辺を上の式で引くと、

  

ここで、

  

とすると、

  

これはuについてのベルヌーイ形の微分方程式だから、解くことができる。

 

問題2 次の微分方程式を解け。

  

【解】

y=1とすると、①は

  

したがって、y=1は微分方程式①の解である。

そこで、u=y–1とおくと、u'=y'

よって、①は

  

これはn=2のベルヌーイ形なので、両辺をで割ると、

  

そこで、

  

とおき、両辺をxで微分すると、

  

よって、

  

微分方程式

  

の解は

ここで、v=xとすると、

  

したがって、v=xは、②の特殊解。

よって、②の一般解は

  bel-siki-003.png

(解答終)

 

問題4 次の問に答えよ。

(1) リッカチ形微分方程式

  bel-siki-004.png

が変換

  bel-siki-005.png

によって、u(x)についての2階の線形微分方程式になることを示せ。

(2) (1)の変換によって、微分方程式

  bel-siki-006.png

を線形微分方程式に変換せよ。

【解】

(1) とおくと

  bel-siki-007.png

よって、微分方程式は次のように変換される。

  

 

(2) とおくと、(1)より

  bel-siki-009.png

 


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