第１１回 定数係数の線形非同次微分方程式の解法２ [ネコ騙し数学]
第１１回 定数係数の線形非同次微分方程式の解法２
演算公式２
ρ(D)をDの有理式、aを定数とするとき、次の公式が成り立つ。
ここで、iは虚数単位、すなわち、i²=−1。
問題１ φ(D)をDの整式、aを定数とするとき、次の公式を証明せよ。
【解】
（１）
だから、
とすると、
（２） ライプニッツの定理より
したがって、
（３）、（４）
オイラーの公式より
よって、
この実部と虚部をとれば得られる。
（解答終）
問１ 次の微分方程式の１つの特殊解を求めよ。
【解】
微分方程式の特殊解をy₀とする。
（１）
ここで、
とマクローリン展開し
（２）
ここで、
とおくと、公式（１）より
（解答終）
同次方程式
の一般解は
だから、問１の非同次方程式の一般解は
である。
また、
の特殊解は、
したがって、この微分方程式の一般解は、
である。
問２ 次の微分方程式の１つの特殊解を求めよ。
【解】
微分方程式
を考える。
ここで、
とすると、
オイラーの公式より
だから、
①の実（数）部が
が（１）の特殊解で、
②の虚（数）部が
が（２）の特殊解、
したがって、
（解答終）
