第１３回 オイラー方程式

第１３回　オイラー方程式

 

オイラー形の微分方程式の一般形は

　　

である。

 

　　

とおくと、

　　

同様に

　　

となるので、（１）は定数係数のn階線形常微分方程式に変換することができる。

 

 

問題１

　　

は、と置換することにより、y、tの定数係数線形微分方程式になることを示し、これにより次の微分方程式を解け。

【解】

とし、両辺をtで微分すると、

　　

よって、

　　

したがって、

　　

これを①に代入すると、

　　

 

（１）　a=1、b=1、R(x)=logxの場合だから、

　　

同次方程式

　　

の一般解は

　　

y=tは③の特殊解だから、③の一般解は

　　

 

（２）　a=−1、b=1、R(x)=x²の場合だから、

　　

同次方程式

　　

の特性方程式

　　

の解は、λ=1で重根。

したがって、同次形の一般解は

　　

は④の特殊解だから、④の一般解は

　　

（解答終）

 

 

問題２　次の微分方程式の一般解を求めよ。

【解】

（１）　x>0のとき、とおくと、

　　

だから、微分方程式は

　　

同次形方程式

　　

の特性方程式

　　

だから、同次方程式の一般解は

　　

①の特殊解y₀は

　　

x<0のときも同様の関数になる。

 

 

（２）　x>0のとき、とおくと、

　　

したがって、微分方程式は

　　

同次方程式

　　

の特性方程式は

　　

したがって、同次方程式の一般解は

　　

①の特殊解は

　　

x<0のときも同様。

よって、

　　

（解答終）

 

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