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第14回 2階線形非同次微分方程式の解法 [ネコ騙し数学]

第14回 2階線形非同次微分方程式の解法

 

2階線形非同次常微分方程式

  

に関して次のことが成り立つ。

同次線形微分方程式

  

の基本解をy₁,y₂、ロンスキアンW

  

とすれば、

  

は(1)の1つの特殊解である。

 

問題1 同次方程式(2)の一般解の任意定数C₁C₂をそれぞれ未知関数u₁u₂で置き換えた

  

が非同次方程式(1)の解となるようにu₁u₂を定めることにより(3)で定めた特殊解を導け。

【解】

  

だから、

  

そこで、

  dai14-eq-003.png

となるようにu₁u₂を定める。

の両辺をxで微分すると、

  

よって、

  

となり、φは非同次方程式

  

の解である。

①の連立方程式をについて解くと、

  dai14-eq-000.png

したがって、

  

よって、

  

(解答終)

 

 

問題2 次の微分方程式を解け。

【解】

(1) 同次方程式y' –y'–2y=0の基本解はなので、この一般解は

  

そこで、とおき、

  da14-eq-005.png

(3)式を用いて、非同次方程式

  

の特殊解を求めると、

  

よって、①の一般解は

  

 

(2) (1)の結果を利用すると、y''–y'–2=cosxの特殊解は

  dai14-eq-007.png

よって、一般解は

  

 

3) 同次方程式の基本解は、

  

より、であり、この一般解は

  

である。

  

式(3)より、非同次方程式

  

の特殊解は

  

したがって、非同次方程式①の一般解は

  

(解答終)

 

問題2の(2)の特殊解は

  

と予想できるので、

  

を①に代入し、

  dai14-eq-009.png

と、特殊解を求めたほうが簡単。


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