第１５回 ２階線形非同次微分方程式の解法２ [ネコ騙し数学]
第１５回 ２階線形非同次微分方程式の解法２
問題１ 線形微分方程式
は、その同次方程式
の解y₀を知れば、
と置換することにより、v=u'のについての１階線形微分方程式に帰着されることを示し、これにより次の微分方程式を解け。
【解】
を①に代入すると、
（１）
これは、
の場合だから、
よって、
（２）
これは、
の場合だから、
両辺にxを掛けると、
（解答終）
問題１の（１）、（２）ともにオイラー形の微分方程式なので、
または
と変換して解くことができる。
この変換によって、
と解くことができる。
問題２ 微分方程式
において、
とおくと、u(x)は
を満たすことを示せ。これを２階線形微分方程式の標準化という。
【解】
だから、y=uvを微分方程式に代入すると、
（解答終）
問題３ 次の微分方程式を標準形に直して解け。
【解】
（１）
そこで、y=uvとおくとuの微分方程式は
よって、
（２）
よって、
したがって、
よって、
（解答終）
