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第19回 級数を用いた微分方程式の解法 [ネコ騙し数学]

第19回 級数を用いた微分方程式の解法

 

かりに次の微分方程式があるとする。

  

もしこの微分方程式の解が

  

と、べき級数で表され、さらに、項別微分が可能、すなわち、

  dai19b-siki-001.png

であるとすれば、(1)式は

  

となり、べき級数の係数を比較すると

  

という漸化式が得られ、さらに初期条件y(0)=1より

  

したがって、漸化式から

  dai19b-siki-002.png

となり、

  

が得られる。

(2)のべき級数(マクローリン級数)は、

  

であり、(1)の解と一致する。

 

ちなみに、(2)のべき級数の収束半径Rは、

  

 

参考までに、次の定理を。

 

定理

整級数の収束半径をR>0とすると、この整級数で定義された関数fは、−R<x<Rで微分可能で、項別微分が可能である。すなわち、

  

である。

 

 

問題1 次の微分方程式の解を求めよ。

  

【解】

とし、項別微分が可能であるとする。

  dai19b-siki-003.png

だから、これを微分方程式に代入すると、

  

これがすべてのxについて成立するから、

  

また、初期条件より

  

したがって、

  

nが奇数のとき、すなわち、n=2m+1m=0,1,2,・・・)のとき、

  

nが偶数のとき、すなわち、n=2mのとき

  

よって、

  

したがって、

  dai19b-siki-006.png

(解答終)

 

 

問題2 次の微分方程式の与えられた初期値をもつべき級数解を、はじめの0でない3個まで求めよ。

  

【解】

  

とおくと、

  

初期条件y(0)=0よりa₀=0

また、初期条件y(0)=0より

  

①と②を微分方程式に代入すると、

  

xの項を比較すると、

  

したがって、

  

の項を比較すると、

  

よって、

  

(解答終)


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