微分方程式の解法のまとめ１

微分方程式の解法のまとめ１

 

§１　１階常微分方程式の解き方（基本）

１−１　変数分離形

　　

例

　　

 

１−２　同次形

　　

y=uxとおくと

　　

例

　　

y=uxとおくと

　　

と、同次形を変数分離形に変換することができ、

　　

を積分することにより、

　　

を得る。

 

１−３　１階線形微分方程式

　　

右辺Q(x)=0とおくと、同次方程式の一般解をえる。C=0としたときの特殊解をy₀とすると、非同次方程式の一般解はy=y₁+y₀である。

 

例

P(x)=x、Q(x)=xとおくと、（１）より一般解は

　　

【別解】

y₀=1はy'+xy=xの特殊解。また、同次方程式y'+xy=0の一般解はだから、非同次方程式y'+xy=xの一般解は

　　

（別解終）

 

 

§２　ベルヌーイ形、リッカチ形の微分方程式の解き方

２−１　ベルヌーイ形の微分方程式

　　

ただし、n=0のときは線形、n=1のときは変数分離形なので、n=0とn=1の場合は除く。

微分方程式の両辺をで割ると、

　　

ここで、とおくと、

　　

となるので、これらから次の線形微分方程式が得られる。

　　

 

例

　　

これはn=−2の場合のベルヌーイ形の微分方程式。

したがって、両辺にy²をかけて

　　

とおくととなるから、

　　

として１−３の公式（１）を用いると、

　　

よって、一般解は

　　

 

２−３　リッカチ形

　　

これは一般的に解くことはできないが、１つの特殊解y₁が分かっているとき、次のように解くことができる。

　　

だから、上の式からこれを引くと

　　

ここで、とおくと

　　

と、ベルヌーイ形の微分方程式に変形することができる。

例

　　

y=1はこの微分方程式の特殊解だから、u=y−1とおくと、

　　

と、ベルヌーイが形の微分方程式になる。

これはn=1の場合だから、両辺をu²で割り、さらに

　　

とおくと、

　　　

よって、１−３の（１）より

　　

 

 

§３　クレーロー形

　　

両辺をxで微分すると、

　　

p'=0よりp=c。

よって、

　　

また、のとき、

　　

 

例

　　

両辺をxで微分すると、

　　

よって、一般解は

　　

x=1/p²のとき

　　

両辺を２乗して

　　

よって、特異解は