微分方程式の解法のまとめ３（演算子法）

微分方程式の解法のまとめ３（演算子法）

 

定数係数のn階非同次線形微分方程式

　　

は、次の微分演算子

　　

を用いると、形式的に

　　

となる。

さらに、微分演算子Dの多項式を

　　

とおけば、定数係数のn階非同次線形微分方程式は

　　

と表される。

そこで、を満たす関数yを

　　

と定義する。

すると、

　　

であるから、定義から

　　

となる。

また、次の定理が成り立つことも明らかであろう。

 

定理（線形性）　α、βを定数とするとき、

　　

である。

 

基本公式

　　

 

さらに、φ(D)の逆演算子に関しては次の公式が成り立つ。

　　

特に、φがD²の多項式、すなわち、φ(D²)のとき

　　

 

問　次の微分方程式を解け。

【解】

（１）　特性方程式φ(r)は

　　

だから、右辺を０とした同次方程式の一般解y₁は

　　

微分方程式より、特殊解y₀は

　　

したがって、この微分方程式の解は

　　

 

（２）　特性方程式は

　　

よって、同次方程式の一般解は

　　

特殊解は

　　

したがって、この微分方程式の一般解は

　　

 

（３）　特性方程式は

　　

したがって、同次方程式の一般解は

　　

非同次方程式(D²+4)y=sinxより、特殊解は

　　

ここで、とおくと、公式(4')より

　　

よって、一般解は

　　

 

（４）　特性方程式は

　　

よって、同次方程式の一般解は

　　

特殊解は

　　

したがって、一般解は

　　

（解答終）

 

（４）は

　　

と計算してもよいのだろう、たぶん(^^ゞ。

このように計算すると、特殊解は

　　

となる。

 

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