一般の完全形

一般の完全形

 

n階微分方程式

　　

の左辺の関数Fがの、ある関数Gの導関数であるとき、つまり、

　　

であるとき、この微分方程式は完全形であるという。

また、

　　

が完全形であるとき、λをFの積分因子という。

 

問題　次の微分方程式の積分因子を示し、積分により解けることを証明せよ。

【解】

（１）　y'は積分因子。

両辺に2y'をかけると

　　

また、

　　

となるので、

　　

したがって、

　　

よって、一般解は

　　

 

【別解】

とおくと、微分方程式は

　　

と変形が可能。

したがって、

　　

以下、省略

（別解終）

 

（２）　が積分因子。

微分方程式の両辺に積分因子をかけると、

　　

だから、

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

これらはあくまで形式的な解です。

たとえば、（１）のという不定積分が求められる――初等的な関数であらわすことができる――とは限らないし、まして、

　　

はなおのこと。

だから、解けるのは、次のようにP(y)がごくごく簡単な関数に限られる。

　　

P(y)=−yだから、

　　

c₁>0のとき、

　　

で、とおくと、

　　

となり、物理の単振動の方程式が得られる。

物理の力学の教科書などでは、こうした解法が取られることが多いようである。

 

しかし、⑨の一般解解は、特性方程式

　　

から、

　　

と簡単に求めらることができる。

 

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