第60回 ルーシェの定理の応用 [ネコ騙し数学]
第60回 ルーシェの定理の応用
前回紹介したルーシェの定理
定理(Rouchéの定理)
f(z)、g(z)が単一閉曲線Cで囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で
ならば、f(z)、g(z)はCの内部で同一個数の零点をもつ。ただしここでl位の零点はl個と数える。
は、たぶん、問題を解くときには、使いづらいと思うので、別表現のルーシェの定理を紹介する。
定理(Rouchéの定理)
f(z)、g(z)が単一閉曲線で囲まれた閉領域Dで正則であり、C上で
ならば、f(z)とf(z)+g(z)はCの内部で同一個数の零点をもつ。
z³+3z+1=0の|z}<2の解の個数について考えることにする。
f(z)=z³、g(z)=3z+1とすると、閉曲線|z|=2(原点を中心とする半径2の円)上で
したがって、ルーシェの定理より、f(z)+g(z)=z³+3z+1とf(z)=z³は|z|<2で同じ個数の零点をもつ。
|z|<2におけるf(z)=z³の零点、つまり、f(z)=z³=0となる点はz=0でこれは3位の零点である。だから、
|z|<2におけるf(z)+g(z)=z³+3z+1の零点は3個、つまり、z³+3z+1=0の解の個数は3娘である。
また、|z|<1のとき、|z|=1上で
したがって、f(z)+g(z)=z³+3z+1とg(z)=3z+1は|z|<1で同じ個数の零点をもつ。g(z)=3z+1の零点、つまり、g(z)=3z+1=0の点はで、これは1位の零点。よって、|z|<1におけるz³+3z+1=0の解の個数は1個である。
ちなみに、の実数解は、カルダノの公式から
複素数解を含めると
ここで、ωは
問題 5次方程式の複素数解は2未満であることを証明せよ。
【解】
とおくと、これは閉曲線|z|=2上で
したがって、ルーシェの定理より、|z|<2におけるとの零点の個数は等しい。|z|<2におけるf(z)=z⁵の零点はz=0でこれは5位の零点。したがって、|z|<2におけるの零点は5個。の解は5つしかないから、|z|<2にすべて存在することになるケロ。
よって、
の複素数解は2未満である。
(解答終)