複素関数の極限の補充問題 [ネコ騙し数学]
複素関数の極限の補充問題
独立変数z、従属変数wがともに複素数である関数w=f(z)を複素関数という。z=x+iy、w=u+ivとすれば、
となり、uとvは２変数xとyの関数になる。このことをu=u(x,y)、v=v(x,y)と書くことにする。
複素関数の極限
任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶと、
が成り立つとき、zがz₀に近づくときf(z)は極限値αに収束するといい、
とかく。
z=x+iyとすると、
だから、
したがって、
とすると、
また、無限遠点∞を含む極限は次のように定義する。
問題１ つぎの極限値を求めよ。
【解】
（１） z=x+iyとすると、
。（半）直線y=mxにそってzを原点Oに近づくものとする。
x≠0のとき、
となり、直線の傾きmによって値が変わる。
よって、
は存在しない。
（２） 
だから、
（３）
（解答終）
実関数の極限
は、
となるので、この極限は存在しないけれど、複素関数の次の極限
で、無限遠点∞がこの極限になるので注意が必要。
また、（３）の極限を求めるときは、正式には上のように解かないといけない。
大学の定期試験で、実数の極限と同じように
と解くと、先生に、減点されたり、✕をつけられるのかもしれないので注意。
実数の極限に持ち込みたいのならば、
たとえば、
したがって、｜z｜=Rが十分に大きいとき、
などとすればいいケロ。
問題２ 次の極限を求めよ。
【解】
z=x+iyとすると、Re(z)=x、Im(z)=y。
（１） 直線y=mxにそって原点に近づけると、
直選の傾きによってこの極限は変わるので、この極限は存在しない。
（別解）
x=rcosθ、y=rsinθとすると、
θの値によってこの極限は変化するので、この極限は存在しない。
（２）は略。この手の極限は、大体、存在しないことになっている(^^ゞ
（解答終）
問題３ 次の極限を求めよ。
【略解】
z=x+iyとおくと、
。
例によって、y=mx（x>0)にそって原点に近づけると、
よって、極限は存在しない。
【別解】
とおくと、
よって、極限値は存在しない。
（解答終）
この手の極限は、大体、存在しない(^^)
宿題 次の極限を求めよ。
（ヒント）
（２）は
と絶対値をとって、この極限で議論すればよい。
