複素関数の連続に関する補充問題 [ネコ騙し数学]
複素関数の連続に関する補充問題
連続の定義
z₀がw=f(z)の定義域Dに属し、が成り立つとき、f(z)はz₀で連続という。
すなわち、
任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶとき、
が成り立つとき、f(z)はz₀で連続という。
がz₀=x₀+y₀で連続であるとき、
である。
問題1 次の関数はz=0で連続か。
【解】
(1) z=x+iyとおくと、z≠0のとき
y=mx(x>0)にそってzが0に近づくとき、
これはmの値によって変わるので、は存在しない。
よって、z=0で不連続である。
(2) z≠0のとき
よって、
となり、f(z)はz=0で連続である。
(解答終)
(2)は次のように答えてもよい。
【(2)の別解】
z≠0のとき、
よって、f(z)はz=0で連続である。
(解答終)
問題2 次の関数はz=0で連続か。
【解】
(1) z≠0のとき、
したがって、f(z)はz=0で連続でない。
(2) f(0)=0。また、z=x+iyとすると、Im(z)=y。
よって、f(z)はz=0で連続である。
(別解)
z≠0のとき、
(解答終)
多変数関数の場合、ε-δ論法は複雑になるのでふつう用いないけれど、やってみますか。
とすると、g(t)は狭義単調増加関数。
したがって、0<ε<1、δ>0とし
とすると、
ε≧1のとき、δ=1とすると、
したがって、任意のε>0に対してδ>0を
にとれば、
となり、f(z)はz=0で連続である。
問題3 f(z)がz₀で連続であるとき、もz₀で連続であることを示せ。
【証明】
f(z)がz₀で連続だから、任意のε>0に対して、適当なδ>0を選ぶと、
である。
このεに対するδを用いると、
したがって、はz₀で連続である。
同様に、
したがって、はz₀で連続である。
(証明終)
とすると、
また、だから、
とすると、だから、