[境界積分の積分部品(ラプラス型)] [ネコ騙し数学]
[境界積分の積分部品(ラプラス型)]
前回の最後で、境界積分を解析的に実行すると決心したのでした(^^;)。そこで境界積分に必要な積分部品をトップダウンで特定し、一つ一つ解析的に積分してボトムアップする事にします。そういう訳でここでは、記述を系統立てる記号の定義に終始します。
図-1に示した一つの境界要素kでの境界積分は、境界上で解関数ψとその外法線微分qを線形近似した場合、
となりました。Lkは要素kの長さ、ψjやqjは図-2に示した節点jとj+1でのψ(c)とq(c)の値です。
(1),(2)の境界未知数ψj+1,ψj,qj+1,qjの係数を、要素k上の未知量ψjやqjに関する係数という意味で、
と書きます。(3)~(6)を使うと(1),(2)は、
と書けます。図-2に示した幾何学的な積分パラメータによって、bj(k)やhj(k)の具体的形を与える事が、当面の目標です。
これも前回の結果から、
です。(9),(10)を(3)~(6)に代入します。
式(11)~(14)を眺めると、
という定積分を求積出来れば良いとわかります。ところで積分計算の一般的傾向として、「分母は出来るだけ簡単に、logの中身も出来るだけ簡単に」した方が、「計算としてまだマシ!」ってのがありますよね?。
よって上記は、c-s=tと置換して、
とやるのが安全です。式(19)~(22)の積分部品を拾うと、
さらに定積分は不定積分がわかれば良いので、式(23)~(26)の不定積分を(t)付きで表し、以上を全部のまとめて、ボトムアップ公式として書き出します。
大変そうに見えますが、式(27)~(30)が計算できたとすれば、その結果を、式(31)~(34) → 式(35)~(38) → 式(39)~(42) → 式(43),(44)と順番に代入して行けば良いだけです。こういう事はコンピュータの最も得意とするところです。
よってあと人間のやるべき事は、式(27)~(30)の不定積分を決定する事だけですよ(^^)。
[ラプラス型境界要素法の境界積分の詳細] [ネコ騙し数学]
ラプラス型境界要素法の基礎式は以下でした。
内点方程式:(ξ,η)はRの内点。
境界方程式:(ξ,η)はRの境界C上。
ここで求めたい未知関数ψ(x,y)はポアソン方程式、
を満たします。g(x,y)は既知関数です。(ξ,η)を特異点と呼びます。
図-1に示した領域Rが、解きたい偏微分方程式(3)の解析領域でCはRの境界とします。式(1),(2)の∫C dcは境界C上の線積分,∫R dxdyはRでの領域積分です。式(2)のkはk(ξ,η)で、その点での境界Cの内角を表します。
ψ*はラプラス方程式の基本解で、
を取れます。qとq*は、図-1に示した境界C上での外法線の方向βへの、ψとψ*の外法線微分値になります。また式(4)のrの方向をγとします。境界上のψとqが具体的に定めたい未知数になります。何故ならそれらが求まると式(1)から、領域内任意点のψの値を計算できるからです。
最初に式(1)の境界積分項を検討します。右辺の領域積分は、比較的簡単に処理できます。
ψとqを具体的に近似するために、領域Rを折れ線近似し、折れ線の各線分を境界要素と呼んで要素番号kを与えます(図-1)。線積分の定義に従い、kの番号付けはCを左回りに一周が便利です(k=1,2,・・・n)。
図-1の境界要素を一個取り出して、外法線方向βがちょうど上向きになるように描いたのが、図-2です。
∫C dcは境界積分なので、図-2の境界要素上の点(x,y)が積分点です。線積分の定義より積分点(x,y)は、右から左へ走る事になります。それに伴って積分パラメータcは、要素kの長さをLkとすれば、c=0→Lkと増加し、これが要素k上での∫C dcの積分区間になります。
要素kの長さLkが十分小さければ、要素k上でψ(c)とq(c)の変化は線形近似くらいで十分です。ψ(c)とq(c)を線形近似するために境界要素の両端に節点を配置し、節点番号jを与えます。線積分の定義に従い、jの番号付けもCを左回りに一周させるのが、一番便利です。明らかにj=1,2,・・・nで、境界要素数と同数の節点が配置されます。節点jとj+1でのψ(c)およびq(c)の値を、(ψj,ψj+1)および(qj,qj+1)で表します。
線形近似だったので要素k上では、
です。これを(1)の境界積分項に代入すると、要素k上で、
となります。
かなりごちゃごちゃしてますが(数値計算なんてそんなもの(^^;))、式(1),(2)が基礎式である限り、具体的に積分できなければお話にもなりません。そういう目で(8),(9)を見直すと、基本解に関するψ*(c)とq*(c)の具体的形が必要なのがわかります。
まずψ*(c)については式(4)よりrのみの関数なので、rをcで表せば良い事になります。特異点(ξ,η)から境界要素kへ下した垂線の長さをh,垂線の足の位置を要素局所座標系cで表した値をsとします。c=0の時とc=Lkの時のrをr1,r2として、rの方向をγで表すのにならって、r1とr2の方向をγ1,γ2とします。
図-2から、
ですが、r1,β,γ1は境界要素kの配置と特異点の位置だけで決まるので、これらはcに対して定数です。
従って、
に関する積分をすれば良い事になります。
次にq*(c)については、ψ*(x,y,ξ,η)の境界上での外法線方向微分値なので、最初に、(x,y)におけるψ*(x,y,ξ,η)のx方向偏微分とy方向偏微分を計算します。
ここでrは式(4)で表したものであり、cosθ=(x-ξ)/r,sinθ=(y-η)/rです。(x,y)が境界上にある場合は、rは式(12)で表され、図-2から明らかにθ=γになりますが、
も図-2から得られます。従って外法線β方向への方向微分の公式に(14)~(17)を使うと、
が得られます。
よって式(8),(9)の積分は、
の積分計算に帰着できるのがわかります。
(21)と(22)は、有理関数の積分になってます。なので、「やりゃ~必ず求積できる」事にはなります。(19)と(20)は、logの前にかかった1とcを先に積分する部分積分を実行すれば、やはり有理関数の積分に帰着でき、「やりゃ~必ず求積できる」事にはなりますが・・・。あえてやりたい計算ではないですよね?(^^;)。
しかしやるんです。やるべきなんです!。どうしてかと言うと、大学以上の数学において「計算すりゃぁ~答えが得られる」なんていう事態は、ほとんど万に一つの幸運だからです!。もっと賢いカッコ良い方法は、計算結果を得た後でいくらでも考え付けます。そういう事を出来るようになるためにも、地道に計算するんですよ。それが大人の数学だと思います。
ただし「岩波公式集」なんかは使って良いよ、という事にもなります。これも大学以上の数学の大人の対応です(^^)。
(執筆 ddt³さん)