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第3回 ベクトルのテンソル積 [ネコ騙し数学]

第3回 ベクトルのテンソル積

 

2つのベクトルABが与えられているとする。任意のベクトルxに対して

  

とおけば、Sは線形条件を満たすのでテンソルである。

何故ならば、abをスカラー(実数)、xyを任意のベクトルとし、

  

であるから。

このテンソルSをベクトルABテンソル積といい、記号S=ABであらわす。すなわち、

  

となるABの成分をとすれば、

  

となる。ここで、

  

である。

したがって、S=ABの成分は次式で与えられる。

  

すなわち、

  

である。

特に、基本ベクトルの9個のテンソル積

  

になる。

また、任意のベクトルに対して

  

が成り立つ。

 

任意のテンソルTの成分をとし、テンソルS

  

で定義する。このとき、任意のベクトルに対して、

  ten3-001.png

よって、

  

になる。

ゆえに、任意のベクトルxに対してが成り立ち、T=Sである。

したがって、任意のテンソルTについて

  

が成り立つ。

 

問1 について、テンソルuvの成分を求めよ。

【解】

  

(解答終)

 

問2 単位テンソルIは次のように表せることを示せ。

  

【解】

  ten3-002.png

したがって、

  

(解答終)

 


タグ:テンソル
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