方向余弦とクロネッカーのデルタなど

方向余弦とクロネッカーのデルタなど

 

xy平面上に原点Oからの距離がa>0である点Aがあるとする。つまり、である。

点Aの座標を(A₁,A₂)とすれば、

　　

である。

ベクトルとx軸、y軸の正の向きとなす角をそれぞれα、βとすると、

　　

となるので、（１）式より

　　

となる。

このを方向余弦という。

 

３次元の空間の点の場合は、A=(A₁,A₂,A₃)とし、とx軸、y軸、z軸の正の向きとなす角をそれぞれα、β、γとすれば、

　　

さらに、

　　

なので、

　　

このを方向余弦という。

３次元の場合、とし、ベクトル方向余弦をl、m、ｎであらわす。このとき、

　　

である。

 

再び、２次元のベクトルに戻り、x軸、y軸の正の方向をもつ、大きさ１のベクトル、つまり、x軸、y軸の基本ベクトルをとすると、内積の定義より

　　

特に、ベクトルが単位ベクトル、つまり、のとき、方向余弦は

　　

と、基本ベクトルと与えられる。

同様に、３次元の場合は、方向余弦l、m、nは、

　　

ここで、はz軸の基本ベクトルである。

 

ところで、２つの基本ベクトルの内積には次の関係がある。

　　

クロネッカーのデルタは

　　

だから、基本ベクトルの内積は

　　

とクロネッカーのデルタを用いてあらわすことができる。

 

ところで、との内積を求めると、

　　

総和記号Σを使うと、

　　

同様に、

　　

これをまとめると、

　　

 

特に、が単位ベクトルのとき、その方向余弦と添字つきのlであらわすと、

　　

になるので、

　　

 

今後、クロネッカーのデルタを使った計算がウンザリするほど出てくるので、

　　

⑨の公式は重要だケロ。

そして、

⑨の公式をじっと見つめると、ある種の規則性に気付くと思う・・・。

 

問　の方向余弦を求めよ。

【解】

　　

したがって、

　　

は、と同じ方向の単位ベクトル。

よって、方向余弦l、m、nは

　　

（解答終）

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