第７回 テンソルとベクトルの１次関数

第７回　テンソルとベクトルの１次関数

 

ベクトルの成分がベクトルの１次関数

　　

によって表されるとき、ベクトルはベクトルの１次ベクトル関数という。

すなわち、

　　

 

問題１　をテンソル、をベクトルとすれば、

　　

はベクトルである。

【解】

　　

とおく。

直角座標の変換によって、がになるとする。

　　

に、

　　

を代入すると、

　　

ゆえに、はベクトルである。

（解答終）

 

問題２　９個の数の組とするとき、任意のベクトルに対し、つねに

　　

がベクトルならば、はテンソルである。

【解】

　　

とおく。

直角座標の変換によって、がになるとすれば、

　　

ところで、

　　

また、の両辺にを掛け、j=1〜3について加えれば、

　　

よって、（３）は

　　

（２）と（４）より

　　

上式は任意のベクトルについて成立するので、

　　

よって、はテンソルである。

（解答終）

 

したがって、

任意のベクトルについて

　　

がベクトルであるとき、９個の数の組はテンソルである、とテンソルを定義することができる。

 

 

問題３　をテンソル、をベクトルとすれば、

はスカラーである。

【解】

とおくと、はベクトル。

よって、

したがって、はスカラーである。

（解答終）

 

がベクトルであるとき、 がスカラーであることは、第５回の問題１で示してある。

 

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