テンソルの実例

テンソルの実例

 

慣性テンソル

剛体が原点Oのまわりを一定の角速度ωで回転しているとする。剛体内の点Pの速度をv、とすると、

　　

である。

剛体の密度をρとすると、微小部分dVの角運動量dLは

　　

したがって、剛体全体の角運動量は

　　

である。

ここで、

　　

とおけば、

　　

ゆえに、

　　

ここで、

　　

さらに、

　　

とおけば、

　　

となる。

任意の角速度ωに対して、常に、Lはベクトルであるから、はテンソルの成分である。

 

クロネッカーのデルタ

　　

を用いれば、慣性テンソルの成分は

　　

とあらわすことができる。

 

慣性テンソルの対角成分

　　

は、それぞれ、x¹、x²、x³軸のまわりの慣性モーメントと呼ばれ、

　　

は相乗モーメントと呼ばれる。

また、慣性テンソルの不変量

　　

を慣性モーメントと呼ぶ。

 

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