第１５回 ベクトル場の微分

第１５回　ベクトル場の微分

 

ベクトル場をとし、x¹、x²、x³で偏微分して得られる９個の関数

　　

はテンソルの成分である。これをベクトル場の偏微分係数という。

 

【２次のテンソルであることの証明】

直角座標の変換

　　

によって

　　

になるとする。

（２）の両辺をで偏微分すると、

　　

ここで、

　　

だから、

　　

したがって、はテンソルである。

（証明終）

 

 

をスカラー関数とすれば、はベクトルである。したがって、は２次のテンソルである（※）。

また、φが２回連続微分、すなわち、C²級であるとき、

　　

が成立するので、は対称テンソルである。

 

例　ベクトルの発散

　　

は、2次のテンソルを縮約したものだから、2−2=0次のテンソル、すなわち、スカラーである。

また、テンソルの対称成分は、

　　

の反対称成分は

だから、はベクトルの成分。

よって、

　　

とおき、ベクトルをv、wで表せば、

である。

 

（※）

だから、

　　

となり、はベクトル（１次のテンソル）。

ここで、

　　

とおけば、

　　

が２次のテンソルであることが示される。

 

問　をスカラー関数とするとき、

　　

がスカラーであることを示せ。

【解】

　　　
は２次のテンソル。

（４）は、i=jとして、これを縮約したものだから、2−2=0次のテンソル、すなわち、スカラーである。

（解答終）

 

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