第１８回 応力テンソル

第１８回　応力テンソル

 

固体が外力を受け変形すると、固体の内部に外力に応じた力が発生する。この（単位面積）あたりの力を応力という。

固体内に一つの断面を考えるとき、圧力とは異なり、応力は断面の垂直方向に働くとは限らないので、断面の単位法線ベクトルnを定め、nの向かっている側から、単位面積当たりに作用する力をもって応力を定義する。

応力をTとすれば、固体内の点Pにおける微小面積ΔSにはTdSの力が作用する。しかし、ΔSの向きが変わると、一般的に、Tの向きも大きさも変わる。

図のように、点Pを原点とする直交座標をとり、nに垂直な３つの面によって囲まれる微小な四面体PABCの力の釣り合いを考える。

△ABCの単位法線ベクトルをnとし、△ABCの面積をS、それに作用する力をTΔSとする。

△PBCの面積をΔS₁とし、その法線ベクトルをe₁としたとき、△PBCに作用する応力をT₁ΔS₁とすれば、e₁は四面体外部から内部に向かっているので、四面体の外部から作用する力は−T₁ΔS₁である。

同様に、△PCA、△PABの面積をそれぞれΔS₂、ΔS₃と、その法線ベクトルをe₂、e₃としたときすれば、外部からこれらの面に作用する力は−TΔS₂、−TΔS₃となる。

△ABCが平行移動して点Pに近づく極限を考えると、TはPにおいてnに垂直な面に作用する応力とみなせる。同様に、T₁、T₂、T₃は、それぞれn₁、n₂、n₃に垂直な面に作用しているとみなすことができる。

よって、力の釣り合いは、

ΔS₁、ΔS₂、ΔS₃は、ΔSの各座標平面上の正射影であるから、nの成分をn¹、n²、n³とすると、

したがって、

Tの成分を、の成分をとすると、

すなわち、

nは点Pの任意の方向にとれるので、はテンソルの成分である。これを応力テンソルという。

 

図のような微小な直方体を考える。その辺の長さをΔx¹、Δx²、Δx³とする。

x¹軸まわりのモーメントを考えると、x³軸に垂直な２面に作用する力はそれぞれ

となり、釣り合っている。よって、x¹まわりのモーメントを考えるとき、面に作用する力だけを考えればよい。したがって、x¹まわりのモーメントの和は

同様に

が成立する。

よって、応力テンソルは対称テンソルである。

 

応力テンソルは対称テンソルだから、そのテンソル２次曲面を考えることができる。これを応力２次曲面といい、応力２次曲面の主軸を応力の主軸という。３つの主軸のそれぞれに垂直な面を主要面、３つの主軸の応力を主応力という。

nが応力テンソルの主方向に向かっているとき、（１）は

したがって、主軸に垂直な面には、応力は垂直に作用する。