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極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積 [ネコ騙し数学]

極方程式で与えられた曲線に囲まれた部分の面積

 

曲線が極座標rθを用いて

  

で表されているとき、この方程式を曲線C極方程式という。

 

kyoku-(x-a)^2+y^2=a^2.png例えば、半径aa>0)で点(a,0)を中心とする円

  

は、

  

と、極方程式で表すことができる。

 

また、デカルト直交座標における動点Pの座標を(x,y)とすると、

  

であり、

  

という関係がある。

 

 

定理

曲線Cで表されていて、f(θ)が連続であるとする。このとき、曲線Cと半直線θ=αθ=βで囲まれた部分の面積は

  

である。

【略証】

  

(証明終)

 

 

Cardiod.png問題1 次の曲線(カージオイド)に囲まれている部分の面積を求めよ。

  

【解】

この曲線はx軸に関して対称なので、上半分の面積S₁を求め、それを2倍すればよい(右図参照)。

したがって、

  kyoku-men-001.png

したがって、この曲線によって囲まれる面積S

  

(解答終)

 

Lemniscate.png問題2 次の曲線(レムニスケート)に囲まれている部分の面積を求めよ。

    

【解】

この曲線はx軸、y軸に関して対称。だから、第1象限の面積を4倍すればよい。

  

とおくと、

  

は、

  

rが恒等的に0のときは曲線ではなく、原点になるので、

  

第1象限だけを考えればよいので、このとき、0≦θ≦π/2であり、また、(2)を満たさなければならないので、

  

よって、

  

したがって、

  

(解答終)

 

 

Clover3.png問題3 次の曲線(3葉線)に囲まれる部分の面積を求めよ。

  

【解】

とおくと、

求める面積は、第1象限でこの曲線によって囲まれる部分の面積S₁を3倍したもの。

ところで、0≦θ≦π/2

  

になるのは、

  

したがって、

  kyoku-men-002.png

よって、

  

(解答終)

 


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