有限要素法の選点法で、２階常微分方程式の境界値問題を解く [ネコ騙し数学]
有限要素法の選点法で、２階常微分方程式の境界値問題を解く
問題１ 次の微分方程式の解を求めよ。
【解】
この微分方程式の特性方程式は
したがって、この微分方程式の基本解は
だから、一般解は
である。
境界条件より
これを解くと、
したがって、
（解答終）
これを差分で解くのは芸がないということで、有限要素法の選点法を用いてこの微分方程式を解くことにする。
それに先立ち、問題の微分方程式を
と置き換え、問題の微分方程式をzの微分方程式に書き換えると、
になる。
こんとき、この微分方程式の境界条件は
となる。
そこで、この境界条件を満たす関数
を近似解と仮定するケロ。
そこで、（２）のzをuに置き換えた
を残差と呼ぶことにする。
もしuが（２）の解であれば、残差
は０。しかし、（３）は（２）の解ではないので、R≠0である。
ここで、
となるように重み関数w(x)を調整し、（５）の積分の値が０になるようにする。
そして、（５）を満足する（３）を微分方程式（２）の近似解としようじゃないか。
この重み関数にδ関数
なるナゾの関数を採用し、（５）の積分を行うと
になる。
さてさて、
したがって、
x₀=1/2とすると、（６）より
だから、
で、
だから
に違いない。
赤線が厳密解の
青線が
この微分方程式に関する限り、厳密解との差は殆どないという驚きの結果が得られる。
1/3を選点x₀に選ぶと、
したがって、
よって、
この微分方程式の場合、1/2にとったほうが1/3にとったほうが精度がよいことが分かる。
このように微分方程式の解を求める方法を選点法という。
問題２ 次の微分方程式を解け。
【解】
同次方程式
の特性方程式は、
したがって、同次方程式の一般解は
特殊解y₀は
したがって、この微分方程式の一般解は
である。
境界条件x=0のときy=0より
x=1のときy=0より
よって、
（解答終）
この微分方程式の場合も同様に
とおくと、
となる。
そこで、x=1/2にとると、
したがって、
粗い近似だから合うほうがおかしいケロよ。そこで、精度をあげる方法を考えることにするにゃ。
