ガラーキン法 [ネコ騙し数学]
ガラーキン法
微分方程式
境界条件を
とする。
ここで、Vは微分方程式が定義されている領域で、Sは境界面とする。
（１）の解u(x)が独立な試行関数（基底関数）
を用いて
と近似できるとする。
このとき、
を残差といい、R=0のとき
は解uと一致する。
（３）に重み
を掛け、
となるよう
を定める方法が有限要素法の重み付き残差法である。
この重みにディラックのδ関数
を用いるものが選点法である。
この重みに試行関数
、すなわち、
とする方法がガラーキン法である。
例によって、微分方程式
を、がラーキン法を用いて解くことにする。
この微分方程式の近似解を
とすると、試行関数は
となり、残差は
となる。
したがって、
また、
したがって、
よって、
になる。
ガラーキン法による計算結果は次の通り。比較のために、選点法による計算結果も示してある。
厳密解との差は殆ど無いので、グラフでは厳密解とほとんど重なってしまう。
この他に最小２乗法、モーメント法などがあるけれど、あくまで一般論ですが、有限要素法の中ではガラーキン法がもっとも精度がよいといわれている。
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