誤差の蓄積

誤差の蓄積

 

　　

の解は

　　

であり、Euler法は（２）式の積分を

　　

と近似し、

　　

を計算し、以下、逐次的に

　　

と計算し、微分方程式（１）の近似解を求める方法である。

特に、

　　

と、等間隔の時、オイラー法は

　　

となる。

そして、（５）の（局所的な）打ち切り誤差はh²程度である。コンピュータを用いる解法では、この打ち切り誤差の他に計算機特有の丸め誤差などが発生するが、丸め誤差は打ち切り誤差と似た性質を持っているので、打ち切り誤差に含めることが可能であろう。

 

が正確にであるとき、積分によって得られるの近似値の間には

　　

という関係が成立する。ここで、は局所的な打ち切り誤差を表す。

さらに、が誤差を含めば、にはこの誤差の伝播誤差と局所的な打ち切り誤差が入る。この２つの誤差によって生じる誤差は、計算をするたびに蓄積し、時に近似計算の結果を無意味なものにしてしまう。

 

微分方程式（１）、すなわち、y’=f(x,y)のオイラー法による積分（５）において、が正確であれば、

　　

である。

ここで、

　　

がの誤差を含めば、

　　

右辺第２項をテーラー展開し、は十分小さく高次の項を無視できるとすると、

　　

（１０）式を（９）式に代入すると、

　　

したがって、伝播誤差は

　　

である。

よって、では、

　　

となり、では、

　　

となる。

のとき、計算を進めるたびに誤差は増大してゆく。そして、でhが小さければ、

　　

であれば、誤差の影響は積分を繰り返すたびに小さくなり、やがて消失してしまう。

 

次の微分方程式があるとする。

　　

この微分方程式の解は

　　

である。

（１３）式にEuler法を用いると、

 　　

となる。

誤差も（１４）式に従うとすれば、

　　

したがって、誤差因子1+λhが

　　

すなわち、

　　

であれば、（伝播）誤差は常に一定の範囲に収まる、つまり、有界で、安定である。

λ>0のとき、（１６）を満たすことはできないので、（積分の）計算を進めるたびに、伝播誤差が指数関数的に増大する。

 

参考までに、λ=±1、h=0.1としたときの結果をグラフに示す。

λ=1のとき、誤差が指数関数的に増加していることが分かる。

 

 

対して、λ=−1のとき、誤差は0≦x≦1では増加するが、さらに計算が進むに従い、誤差が減少してゆくことが分かる。

 

 

また、λh=−2となるように、λ=−2、h=1とすると、次のような振動解が得られる。

 

 

そして、λ=−３、h=1とすると、この計算はやがて発散してしまう。

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