［陽解法でも収束するかも］

［陽解法でも収束するかも］

 

　ddt^3です。ちょっと面白いなぁ～と思って、差分法に関する安定条件をググってみると、フォン・ノイマンの安定条件ってのが出てきます（註１。

　　http://dr-asa.hatenablog.com/entry/2017/08/31/154806

 

　上記HPによると、放物型偏微分方程式の陽解法が安定であるためには、任意の整数0≦mに対して、

 

 

 

 

だそうです。ここでGは時間方向への誤差の拡大率，β_mは、

 

 

 

であり、Lは解析領域の長さです。この条件は解の大きさに誤差も比例するという前提なので、mは解を空間方向にフーリエ展開した場合の波数（モード次数）と考えられます。

　к＝1/2，Δt＝0.1，Δx＝0.4，L＝4として、m＝0，1，2，・・・に対してG(m)をプロットしてみると、図-1になります。

 

 

　波数20以上は周期的な繰り返しです。解析結果のグラフをみてみると、どう考えても1次モードのみ励起されるはずです。

 

 

です。

 

　Gは誤差の拡大率です。初期誤差をεとし、誤差は解の大きさに比例するという前提を信じれば、

 

 

 

 

で、時間ステップnにおける誤差を評価できる事になります（たぶん最悪の予想）。T(x，t)は解，t_nはnステップ目の時刻です。

 

　解析結果は放物線が一様に圧縮されてくような感じなので、T(x，t_n)／T(x，0)をx＝2の値の変化で代表させます。紙面から読み取った値は、

　・・・表-1くらいかな？。

これをグラフに起こして強引に指数関数近似したのが図-2です。相関係数がR²＝1とウルトラ良いので(^^)、図-2の補間結果から、

 

 

で近似する事にします（註２）。

 

 

　次に初期誤差εですが、T(x，0)＝x(4－x)＝－x²＋4xなので、t＝0でのx方向への2階差分の絶対値はa(0)＝1のはず。

　時間差分は1階で、空間差分は2階だから、

 

 

くらいかな？(^^;)。

 

　以上を使って、誤差の積算Ε(n)を計算してやると、図-3になります。

 

 

「ネコの旦那！。陽解法で永遠に数値積分しても、最大誤差0.0102くらいで収束しそうでっせ！」

 

　陰解法は、長時間積分に対して陽解法より平均的に精度が良いだけの話で、局所的な精度は陽解法が上回る場合もあり得ると、自分は思っています。例えばあまり長くない時間積分であれば、無条件安定なシンプレクティック法よりルンゲクッタ法の方が、ずう～っとずう～っと精度が良い。

　シンプレクティック法は陽解法のくせに（まさに陰に）陰解法の特性を持つのに対して、ルンゲクッタ法による超長時間積分では、解は0に減衰します。という訳で・・・。

 

予想1)

　陽解法でも発散しないケースだったから、陽解法の精度がバカみたいに良かった？。

 

　でもですね、n＝100で既に0.001～最大0.01程度の誤差は見込まれます。単精度ですよね？。問題のスケール規模は10⁰＝1のオーダーで単精度の有効数字は6桁。倍精度でやりたいなぁ～(^^;)。

 

予想2)

　倍精度計算したら、劇的に状況が変化するかも。あくまで「するかも」。

 

　以上、他人のプログラムなんて頼まれても読みたくないddt^3の、他人事のような発言でした(^^;)。

 

（執筆：ddt³さん）

 

 

（註１）フォン・ノイマン法による陽解法の安定性判定については、ねこ騙し数学でも過去に「陽解法による拡散方程式の安定性」という記事で取り上げている。

http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/2016-11-23

 

（註２）微分方程式の厳密解は、

そして、n=1のとき

となるので、約５％くらいの誤差で

と近似できる。

 

タグ：数値解析 微分方程式 微分積分