第29回 定積分と級数

第２９回　定積分と級数

前回、定積分を使った級数の収束判定法などをご紹介しましたので、その流れで、無限級数の和を定積分を使って求める方法をご紹介します。

あくまで、定積分を使うと簡単に求められる場合があるという話であって、定積分を使えばかならず求められるというわけではないので、この点は注意して欲しいですにゃ。

 

第２６回　定積分は何かの定積分は面積ケロか？で曲線y = f(x) とｘ軸の間に囲まれている面積を区分求積法を用いて求めたにゃ。

この方法を無限級数の和に応用するというものですにゃ。

 

区分求積法を用いると、
区間[a,b]における y = f(x) とｘ軸のと間の面積は

になりますにゃ。

nは[a,b]の分割数で、Δｘは等分割した幅。

分点はね。

 

Σという総和記号を使うならば、

③は①、④は②ですにゃ。

 

 

これを無限級数の和を求めるのに応用しようというわけですにゃ。

【問題】　次の極限値を求めよ。

【解答】

だケロ。

これから、

f(x) = √x とし、[0,1]をn等分した①のタイプだとわかるケロ。

だにゃ。

だから、

となって、 

 

ここで、積分公式

をつかっていますにゃ。

だから、α=1/2として計算すればいいケロ。

 

 

では、次の問題。

 

【問題】　次の極限値を求めよ。

【解答】

となるケロ。

だから、これは②のタイプだけろ。

で、

として、

と考えれば、

となる。

で、

とし

と考えれば、

 

積分区間の限界、つまり定積分の下端a、上端ｂをどのように考えるかで、ｆとｇという風に関数の形が若干変わるけれど、答えは同じになるケロ。

なお、ここでは、次の積分公式を

を使っていますにゃ。

 

なお、u = x+1とおいて、

という置換積分を使っていますにゃ。

 

ねこ騙し数学は、理系出身者ではなく、
文系の人を対象にしているので、⑨（バカ）丁寧といわれようが、

使う式は、その都度、説明する。

ですわね～。

と一気にやってもいいけれど・・・。

いつも長いので、今回は軽めにしました。

 

なお、もっと難しい（？）問題に挑戦したい人は、

【宿題】

をどうぞ。

【ヒント】

１　①のタイプ

２　積分の区間は[0,1]か[0,π]

３　積分する関数は、２の区間の取り方によってsin(πx)となるかsinxと変わる

４　sin(πx)ならば置換積分をしなければならないし、

sinxならば、

答えは、2/π　です。

 

なお、

です。

念には念を入れて、

を書き加えよう！！

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