第６回 独立試行の確率と２項分布の問題

第６回　独立試行の確率と２項分布の問題

問題１　❍、☓で答える６つの問題が与えられている。いまこの解答にするのに何も考えずにでたらめに❍、×をつけるとき、そのうちの正解数をXとする。

（１）　X≧3になる確率を求めよ。

（２）　Xの平均値（期待値）と標準偏差を求めよ。

【解】

正解数の分布は２項分布。

（１）

　　

（２）　平均値mと標準偏差σは

　　

（解答終了）

 

問題２　日本人の血液型の１０人に３人の割合がO型である。５人の日本人を選んだとき、そのうちのO型の人数をXとする。

（１）　Xはどのような分布に従うか。

（２）　Xの期待値と標準偏差を求めよ。

（３）　南方系のある人種から５人を選んだとき、そのうちの４人が O型であった。この人種が日本人よりもOがたが多いと判定したときの危険率を求めよ。

【解】

（１）　２項分布B(5,0.3)に従う。

（２）　平均値をm、標準偏差をσとすると、

　　

（３）　日本人とO型の割合が等しいと仮定する。

つまり、p=0.3として、P(X≧4）の確率を計算すると

　　

よって、危険率は3%である。

（解答終了）

危険率については検定であらためて説明することにするが、

「南方系のある人種の人たちに占めるO型のヒトの割合が日本人のそれと等しい」という仮説を立てると、５人中４人がO型である確率は0.03で非常にまれなことが起きているということになる。

問題３　さいころを５０回投げるとき、１の目が出る回数をXとする。

（１）　Xがいくらのとき確率は最大になるか。

（２）　Xの平均値を求め、（１）で求めた値と比較せよ。

【解】

１の目が出る回数は２項分布に従う。

（１）　X=kのとき確率が最大とすると、

　　

よって、８回のとき最大。

（２）　平均値（期待値）は

　　

８は平均50/6に最も近い整数である。

（解答終了）

タグ：統計

第５回 独立試行と二項分布

第５回　独立試行と二項分布

§１　独立試行の確率

１回の試行で事象Aの起こる確率をpとすると、この試行をn回繰り返した場合、事象Aがr回起こる確率は

　　

である。

 

問１　袋の中に赤球１個、白球４個が入っている。この中から１個取り出して、もとに戻すことを３回繰り返す。この場合、赤の出る回数をXとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

取り出した球を戻すので、赤球の出る確率p=1/5、白球の出る確率q=4/5。

この問題の場合n=3。

Xの取りうる値は0、1、2、3。

X=rの時の確率をP(X=r)と書くことにすると、
　　

したがって、確率分布は次のようになる。

　　

（解答終了）

この問題には出ていないけれど、赤球の出る回数rの期待値mは

　　

である。

§２　２項分布

変量Xが0、1、・・・・・・、nの値をとり、それらの値をとる確率が

　　

で与えられる確率分布を２項分布という。

その平均・期待値m、標準偏差σは

　　

である。

（２）、（３）を使えば、問１の平均値、標準偏差は

　　

と、複雑な計算をすることなく、すぐに求めることができる。

 

【（２）の証明】

　　

２項定理より

　　

xで微分すると、
　　

x=1を代入すると、

　　

p+q=1だから

　　

（証明終わり）

【（３）の証明】

　　

また、

　　

よって、
　　

ここで、①の両辺をxで微分すると、

　　

x=1を上式に代入すると、

　　

これを②に代入すると、

　　

（証明終わり）

問２　１０％の不合格品を含む同じ製品の一山がある。この中から任意に４個を取り出すとき、その中に含まれる不良品の数Xで確率分布の表で示し、Xの平均値、標準偏差を求めよ。

【解】

X=rである確率は

　　

したがって、確率分布表は

　　

したがって、平均値=0.4、標準偏差=0.6

（解答終了）

問題　１回の試行で事象Aの起こる確率がpであるとき、n回の試行の内、事象Aが最も起こりやすい回数を求めよ。

【解】

r=kのとき、確率が最大になるとすると、

　　

したがって、

　　

そこで、①より
　　

②に対しては、③のkをk+1と置き換えて、不等号の向きを入れ替えると、

　　

③と④より、

　　

を満たす整数kのとき、事象Aは最も起こりやすい。

（解答終了）

問３　１個のさいころを４０回投げるとき、１つの目が何回出る確率が最も高いか。

【解】

n=40、p=1/6。

（４）より
　　

よって、６回のとき確率は最大になる。

（解答終了）

タグ：統計

第４回 確率分布２

第４回　確率分布２

分布関数と確率密度関数

変数Xが連続な値をとるとき、Xを連続型の確率変数といい、X<xである確率P(X<x)が

　　

で与えられるとき、F(x)を分布関数といい、その導関数

　　

をxの確率密度関数という。

　　

だから

　　

で、xがある範囲にに存在する確率は、y=f(x)のグラフのその範囲の面積と等しい。

変数Xの変域をa≦x≦bとし、確率密度関数をf(x)、平均をm、分散をσ²とすると、

　　

である。

　　

となり、

　　

と書くと、分散V(x)は

　　

になる。

 

問題１　確率変数Xの従う確率分布の密度関数f(x)が

　　

であるとき、次の問いに答えよ。

（１）　P(3≦X≦5)の値を求めよ。

（２）　P(7≦X)の値を求めよ。

（３）　Xの平均E(X)を求めよ。

（４）　Xの標準偏差D(X)を求めよ。

【解】

（解答終了）

問題２　あるバスの停留所の発車時刻は毎時０分、１５分、３５分の３回である。この発車時刻をまったく知らない人が、停留場へ来て待たされる時間の期待値を求めよ。

【解】

この人が停留所に来る時刻をx分とすると、待ち時間tは

　　

確率密度f(x)は一様分布と考えられるので、

　　

とすると、

　　

したがって待ち時間の平均・期待値E(ｔ)は
　　

（解答終了）

問題３　連続的な値をとる確率変数xがあって、その確率密度がAを定数として、

　　

とするとき、となるようなaの値を求めよ。

【解】
　　

したがって、

　　

a=0.2とすると、

　　

よって、a=0.2

（解答終了）

なのですが、a=0.2であることに気づく人はどれだけいるのだろう。

　　

試験会場で、これはチョット気づかないだろう。

条件より0<a<0.5で、

　　

だから、a=0.2と気づけということか。

とおくと、

　　

だから、ニュートン法

　　

を用い、x₀=0として計算すると、次のようになる。

計算の初期値としてx₀=0.232を選べば、１、２回計算すれば、a=0.2であることに気づくのではないか。

問題４　半径aの円Oの周上の１点Aから任意の方向に弦を引くとき、それらの弦の長さの平均を求めよ。

また、弦の長さが半径より大となる確率を求めよ。

【解】

円の中心Oを原点、Aを(−a,0)、Bを(a,0)とし、周上の点をPとする。

弦APとx軸のなす角をθ（−π/2≦θ≦θ/2）とすると、弦APの長さlは

　　

θを確率変数とし、一様分布

　　

と仮定すると、

　　

したがって、弦の長さの平均は
　　

AP>aになるのは、

　　

したがって、弦の長さが半径より大きい確率は

　　

（解答終了）

第３回 確率変数と確率分布

第３回　確率変数と確率分布

§１　確率変数と確率分布

１〜６の目をもつサイコロを振り、出た目をXとすると、Xの目が出る確率は、次のようになる。

　　

たとえば、X=1と、Xの値が決まれば、その確率

　　

と定められる。

より一般的に書くと、次のようになる。

　　

の値をとる変数Xに対して、の確率が与えられているとき、Xを確率変数という。また、確率変数Xとそれに対応する確率との対応関係を確率分布という。

確率変数のとる値がであるとし、それに対応する確率をとするとき、

　　

である。

 

問１　１枚の硬貨を２回投げるとき、表の出る回数を確率変数Xとして、Xの確率分布を求めよ。

【解】

（１回目の結果、２回目の結果）と書くことにすると、全事象は、（裏,裏）、（裏,表）、（表,裏）、（表,表）の４通り。

表が０回出るのは、（裏,裏）の１通り。

したがって、表が０回出る確率は

　　

表が１回出るのは、（裏,表）、（表,裏）の２通り。

したがって、表が１回出る確率は

　　

表が２回出るのは（表,表）の１通り。

したがって、表が２回出る確率は

　　

よって、確率分布は次の通り。

　　

（解答終了）

問２　１０本のくじがあって、そのうち、２本が当たりくじとする。３本引いてあたった回数をXとするとき、X本当たる確率を求めよ。

【解】

　　

したがって、

　　

（解答終了）

§２　期待値（平均値）と分散、標準偏差

確率変数Xがの値をとり、それに対応する確率がであるとき、

　　

をE(x)や、mなどであらわし、確率変数の平均値、期待値という。

また、

　　

をやV(x)、σ²で表し、確率変数の分散という。

また、分散の正の平方根

　　

を標準偏差という。

問３　白球４個と赤球３個が入っている袋から２個の珠を同時に取り出すとき、その中に含まれる白球の個数の確率分布を求めよ。また、期待値を求めよ。

【解】
取りざされる白球の個数をk（=0,1,2）に対応する確率をとする。

　　

したがって、平均値mは

　　

（解答終了）

ちなみに、分散Vと標準偏差σは

　　

（解答終了）

問題　１と書いたカードが１枚、２と書いたカードが２枚、・・・・・・、nと書いたカードがn枚ある。この中から１枚取り出すとき、カードの示す数Xを確率変数とする。

（１）　X=kである確率を求めよ。

（２）　Xの平均値を求めよ。

【解】

（１）　カードの数は全部で

　　

したがって、は

　　

（２）　Xの平均値mは

　　

（解答終了）

タグ：統計

第２回 標準偏差と分散

第２回　標準偏差と分散

右の（度数）表に表される、２つの異なる試料の集団AとBがあるとする。

この度数表を元にAとBの平均値を計算すると、Aは48.5、Bは47.2とそれほど変わらない。

また、最頻値・モードは４５、メディアン・中央値も４５である。

それにも関わらず、度数多角形（度数折れ線グラフ）を見ると、資料の値のバラツキ、散らばりの具合が集団Bの方が大きいことがわかる。

こうした資料の値の散らばりの度合いを示す数を分散度といい、標準偏差はその最も代表的なものである。

N個のの数の平均をmすなわち

　　

とすると、標準偏差σは、

　　

である。

問１　5、8、9、14、14の標準偏差を求めよ。
【解】

平均値mは

　　

したがって、平均値からの偏差は、それぞれ

−5、−2、−1、4、4

だから

よって、標準偏差は3.5。

（解答終了）

問２　標準偏差は、次の式を用いて計算できることを示せ。

　　

【解】

　　

右辺第２項は

　　

右辺第３項は

　　

よって、

　　

（解答終了）

この公式を用い、問１の標準偏差を計算すると、

　　

となり、計算結果は一致する。

変量Xの値をの度数分布表が次のようであるとき、Xの平均値をm、すなわち、

　　

とすると、標準偏差σは

　　

問３　右の度数分布表から標準偏差を求めよ
【解】

　　

　　

よって、標準偏差は15.5点

（解答終了）

問４　変数xのとる値を、それぞれの度数をとし、

　　

とおく。

xの平均値をm、標準偏差をσとするとき、

　　

であることを証明せよ。

【証明】

　　

（証明終了）

タグ：統計

第１回 資料の整理

第１回　資料の整理

§１　資料の整理

度数分布表

右の図のように、資料をいくつかの階級（区間）に分け、階級ごとの度数を表にしたもの。

ここでの階級0〜10は０以上１０未満であり、階級の幅は10である。

ヒストグラム

横軸に資料の数値、縦軸に度数をとり、階級の幅を１辺、その階級の度数を高さとする長方形を書き、度数の分布を表したグラフ。

長方形の面積は、度数に比例する。

度数分布多角形

ヒストグラムの各長方形の城辺の頂点を順に結び、両端では階級の幅の半分だけ外側に点をとって結んだもの。

各長方形の面積の和と度数多角形の面積の和は等しい。

相対度数

　　

累積度数

各階級までの度数の和を、その階級の累積度数という。

§２　代表値

階級値

階級の中央の値

上の度数分布表の階級10–20の場合、

（１）　10≦x≦19と考えると

　　

（２）10≦x<20と考えると

　　

の２通りが考えられる。

（２）を採用することにする。

平均値

資料の値の総和を資料の総数で割った値

N個の値があるとき、平均値mは

　　

である。

度数分布表から平均値を求めるには、階級値と度数を用いて

　　

と計算する。

モード（最頻値）

度数分布表で最も階級値が大きい階級値

上の例だと、度数が最も大きい階級は４０〜５０だから、その階級値である４５がモードになる。

メディアン（中央値）

資料を大きさの順にならべたとき、中央にくる数値。

資料の個数が偶数個のとき、中央の２つの値の平均値とする。

例えば、資料が

　　

が５個の場合、３番目の21がメディアン（中央値）になる。

また、

　　

と資料の数が６個で偶数の場合、３番目の２１と４番目の２２の平均値

　　

がメディアンになる。

例えば、右の表の場合、資料の個数は100だから、中央の２つの値は、資料の値の順にならべた、５０番と５１番目の値。

累積度数を見ると、これは階級４０〜５０に属するので、メディアンはその階級値である４５になる。
　――この値は中学数学レベルの話！！――

私が高校時代に使っていた（受験参考書）にしたがうと、以下のように求める。

総数100、100÷2=50。

累積度数を見ると、これは40〜50の階級に属する。

この区間幅は10で、この階級に属する資料の数は22個だから、階級40〜50では40から一様にずつ得点が上昇していると考え、

　　

をメディアンと定める。

資料の数が１００で偶数だから５０番目と５１番目の真ん中を50.5番目と考え、

　　

とするほうがいいのでしょう。
ちなみに、この度数分布表を作成するにあたって用いたデータ

――平均値５０、標準偏差２０の正規分布もどき――

の５０番目と５１番目の値は４５。

中学数学レベルのメディアンの値が元のデータと一致している！！

また、度数分布表から計算した平均値は47.2であるが、元の資料の平均値は46.68で一致しない。

（２）ではなく（１）の階級値を採用すると、平均値は46.7となり、この資料の場合、（１）の階級値を採用したほうが精度は高いようだ。

問題　右の表から平均値、モード、メディアンを求めよ。

【解】

右の表を元に、次の表を作る。

すると、平均値は５８点。

モード（最頻値）は５５点。

資料の個数は４０なので、中央の値は２０番目と２１番目の値の平均値。

これは階級値５５に属するので、（中学数学の）メディアン（中央値）は５５点。

高校数学レベルのメディアンは

　　

または、

　　

（解答終了）

第１５回 数列と確率

第１５回　数列と確率

確率と数列の極限の問題を幾つか紹介し、それを解くことにする。

問題１　１つのさいころを振って１が出れば甲の価値、６が出れば乙の勝ちとして、さいころを振ることを止め、１と６以外の他の目が出たら、繰り返して降るものとする。

（１）　さいころを振る回数をn回までとしたとき、甲の勝つ確率を求めよ。

（２）　回数を制限しないとき、甲の勝つ確率を求めよ。

【解】

（１）

　　

したがって、甲が１〜n回で勝つ確率は

　　

（２）

　　

よって、甲が勝つ確率は1/2である。

（解答終了）

甲がk回目で勝つ場合は、k−1回連続で2〜5の目が出て、k回目に1が出る場合。

２〜５の目が出る確率は

　　

したがって、k−1回連続で2〜５の目が出る確率は

　　

k回目に1が出る確率は1/6だから、甲がk回目で勝つ確率は

　　

である。

 

問題２　ある人が射的をする。一度命中した次に引き続き命中する確率は0.8であり、外れた次に引き続き外れる確率は0.4であるという。第n回目が命中であったときの確率をとするとき、次の問いに答えよ。

（１）　をを用いて表せ。

（２）　を求めよ。

【解】

（１）　命中した次に命中する確率は0.8

外した後に命中する確率は1−0.4=0.6

n−1回目が命中の確率

n−1回目がはずれである確率

したがって、n回目が命中である確率は

　　

ここで、

　　

を解くと

　　

①の両辺から3/4を引くと

　　

したがって、数列は初項、公比の等比数列。

よって

　　

（２）

　　

（解答終了）

 

問題３　A、B２人が、A、Bの順で交互にさいころを振り、最初に１の目が出た人を勝ちとする。A、Bの勝つ勝率を求めよ。

【解】
p=1/6とすると、Aが勝つパターンは下の表のようになる。



よって、Aが勝つ確率P

　　

これは初項p、公比(1−p)²の等比級数の無限和だから

　　

p=1/6だから

　　

Aの勝率は6/11。

したがって、Bの勝率は

　　

（解答終了）

つまり、このゲームは先攻の方が有利ということになるのであった。

タグ：確率 極限 数列

確率の初歩８ 問題編３

確率の初歩８　問題編３

問題１　熊を射ちに行った猟師がある。ねらった銃弾が命中する確率が1/3であるとすると、何発かの弾丸を射って、少なくとも１発命中する確率が0.9以上にするには、何発射てばよいことになるか。

ただし、とする。

【解】

n発中少なくとも１発命中する事象は、n発全弾外す事象の余事象である。

ねらった銃弾が命中しない確率は

　　

したがって、n発全弾が命中しない確率は

　　

したがって、n発中射った弾が少なくとも１発命中する確率は

　　

これが0.9以上にならばよいので

　　

両辺の常用対数を取ると

　　

よって、６発。

（解答終了）

問題２　ある高等学校で生徒の血液型を調べたら、O型の者が３０％、A型の者が４０％であった。この高等学校の生徒３人を無作為に選び出すとき、次の確率を求めよ。

（１）　少なくとも１人がA型である確率

（２）　２人がA型で１人がO型である確率

（３）　１人がA型、１人がO型、残りの１人がA型でもB型でもない確率。

【解】

（１）　３人ともA型でない確率は

　　

よって、少なくとも１人がA型である確率は

　　

（２）　３人の内、２人がA型、１人がO型である順列の数は
　　

だから、３通り。

したがって、２人がA型で１人がO型である確率は

　　

（３）　１人がA、１人がO型、１人がA型でもO型でもない順列の数は3！=6。

したがって、この確率は

　　

（解答終了）

（２）、（３）の補足説明をする。

（２）　選んだ３人が(A,A,O)の順だとする。生徒数が多ければ１人くらい抜き出しても、生徒に占めるA型の生徒の割合はほとんど変わらない、等しいとみなすことができる。

したがって、この確率は

　　

と考えることが可能。

この他に、(A,O,A）、(O,A,A)の２通りがあり、それぞれの確率が

　　

となる。

つまり、①を３倍したものがこの確率になるというわけ。

（３）は、A（割合0.4）、O（割合0.3）確率、AでもOでもない人（割合0.3）の並び、順列が3!=6通りあるので

　　

を６倍したものが、その確率となる。

 

問題３　２０歳の男子が３０年以上生存する確率を2/3として、２０歳の男子４人のうち、３人以上が３０年以上生存する確率を求めよ。

【解】

４人のうち３人が３０年以上生存する確率P₃は

　　

４人が３０年以上生存する確率P₄は

　　

したがって、４人のうち３人以上が３０年以上生存する確率は

　　

（解答終了）

 

問題４　n（n≧2）個の正しく作られた硬貨を同時に投げるとき、”すくなくともn−1個裏が出る”という事象をA、”すくなくとも１回表が出るが全部表でない”という事象をBとし、AかつBという事象をA∩Bとあらわすことにする。

（１）　を求めよ。

（２）　事象AとBが独立、従属であるときの自然数nを求めよ。

【解】

（１）　事象Aは表が０または１個出る事象だから

　　

また、事象Bは、”n個が全部裏”または”n個全部が表”である事象の余事象。

n個すべてが表、裏である確率は

　　

したがって、事象Bの確率は

　　

事象A∩Bはn個のうちの１個が表である事象だから、その確率は

　　

（２）　事象Aと事象Bが独立である必要十分条件は

　　

したがって、

　　

よって、n=3のとき、AとBは独立。

nが３以外のとき、AとBは従属。

（解答終了）

タグ：確率

確率の初歩７ 問題編２

確率の初歩７　問題編２

問題１　Aの箱には１個の赤球と２個の青球と３個の白球が入っている。Bの箱には１０本のくじが入っていて、そのうち３本が当たりくじである。

Aの箱から１個の珠を取り、それが赤であれば同時３本、青であれば２本、白であれば１本のくじをBの箱から引けるものとする。

（１）　ちょうど１本当たる確率を求めよ。

（２）　少なくとも１本当たる確率を求めよ。

【解】

（１）　Aから赤が出てBから１本だけ当たる事象、Aから青が出てBから１本だけ当たる事象、Aから白が出てBから１本だけ当たる事象の確率は、それぞれ、

　　

３つの事象は互いに排反なので、求める確率は、

　　

（２）　Aから赤が出て１本も当たらない事象、Aから青が出て１本も当たらない事象、Aから白が出て１本も当たらない事象の確率はそれぞれ

　　

３つの事象は排反なので、１本も当たらない確率は

　　

少なくとも１本当たる事象は、１本も当たらない事象の余事象なので、求める確率は

　　

（解答終了）

 

問題２　５個のA、B、C、D、Eを、横に１列に出たらべにならべたとき、次のものを求めよ。

（１）　AがBの右にあり、同時にCがDより右にある確率。

（２）　AとBが隣り合わせにならない確率。

【解】

（１）　A、B、C、D、Eの５個をならべる順列の総数は5!通り。

AがBの右にあり、同時にCがDより右にある順列の個数は

　　

よって、求める確率は

　　

（２）　AとBが隣り合わない事象は、AとBが隣り合う事象の余事象。

AとBが隣り合う順列は、AとBを１個と考え、４個の順列を考えれば良いので、4!通り。

したがって、AとBが隣り合う確率は

　　

よって、AとBが隣り合わない確率は

　　

（解答終了）

（※）
次の５つの□のうちに１個を選び、まず、Eをおく。

□□□□□

これには通りの選び方がある。

つぎに、４個の内の２つを選び、B、Aの順序に置く。この選び方は

　　

残りの２個から２個選び、D、Cの順序でおく。この選び方は

　　

したがって、AがBの右に、CがDの右にある並び方は

　　

通り。

もっと大胆に考えるならば、AとBを同じ種類、CとDを同じ種類と考え、AとB、CとDを区別しなければよい。区別するから、右・左の順序が生じる。

このように考えると、同じ種類のものを含む順列の公式より

　　

であることが分かる。

 

問題３　１つのさいころを４回投げ、１回目に出た目の数をa、２回目に出た目の数をb、３回目に出た目の数をc、４回目に出た目の数をdとする。

（１）　a+b+c+dが偶数になる確率を求めよ。

（２）　abcdが偶数になる確率を求めよ。

【解】

（１）　a+b+c+dが偶数になるのは、４回さいころを投げたうち、「偶数の目が４回出る」場合と「偶数の目が２回、奇数の目が２回出る」場合と、「偶数の目が0回出る」場合。

偶数の目が出る確率pは

　　

「偶数の目が４回出る」確率は

　　

「偶数の目が２回、奇数の目が２回出る」確率は

　　

「偶数の目が０回出る」確率

　　

したがって、求める確率は

　　

（２）　abcdが偶数になる事象の余事象は、「a、b、c、d」がすべて奇数である事象。

４回奇数が出る確率は

　　

よって、abcdが偶数である確率は

　　

（解答終了）

「偶数の目が０回出る」確率

　　

と書いたけれど、この事象は奇数の目が４回続けて出る事象のことだから、奇数の目が４回続けて出る

と等しい。

タグ：確率

確率の初歩６ 問題編１

確率の初歩６　問題編１

問題１　１つの袋に赤球３個、白球が７個入っている。この袋から１球取り出し、それが赤球ならばそれで終わりとし、白球ならばそれをもとに戻さないでもう１球取り出すものとする。このとき赤球を取り出す確率を求めよ。

【解】

赤球が出るのは、１回目で赤の場合と、「１回目で白球、２回目で赤球」の場合。

１回目に赤球を取り出す確率は

　　

２回目に赤球を取り出す確率は

　　

よって、赤球を取り出す確率は

　　

（解答終了）

 

問題２　赤札１０枚、白札７枚、青札５枚の計２２枚の札がある。この中から４枚取り出すとき、次の事象の確率を求めよ。

（１）　４枚とも赤である。

（２）　４枚の札の中にどの色の札も入っている。

【解】（１）　赤札１０枚から４枚取り出す組み合わせは通り、２２枚から４枚札を取り出す組み合わせは通り。

したがって、４枚とも赤である確率は

　　

（２）　４枚の札の中にどの色も入っているのは、「赤札２枚、白札１枚、青札１枚」の場合、「赤札１枚、白札２枚、青札１枚」の場合、「赤札１枚、白札１枚、青札２枚」の場合である。

赤札２枚、白札１枚、青札１枚の場合の確率

　　

赤札１枚、白札２枚、青札２枚の場合の確率

　　

赤札１枚、白札１枚、青札２枚の場合の確率

　　

よって、求める確率は

　　

（解答終了）

問題３　白黒２種の同質の球がある。白球１０個と黒球５個を入れたよくかき回し、目をつぶって３個の球を取り出すとき、少なくとも１個は白球である確率を求めよ。

【解】

少なくとも１個白球である事象は、取り出した球がすべて黒球である事象の余事象。

３個取り出した球がすべて黒である確率は

　　

したがって、少なくとも１個は白球である確率は

　　

（解答終了）

 

問題４　２つの事象A、Bが独立であるとして、Aは起こらないがBは起こる確率をp、AもBも起こらない確率がqとおく。このとき、Aの起こる確率、Bの起こる確率を、pとqであらわせ。

【解】

Aの起こる確率をx、Bの起こる確率をyとする。

さらに、Aの余事象、Bの余事象を、それぞれ、であらわすことにする。

　　

①＋②

　　

①と③より

　　

（解答終了）

 

問題５　平均して３問中２問解く能力を持つ学生が、３問の出題で少なくとも２問解ければ合格、正解１問以下では不合格という試験を受けるとき、合格する確率を求めよ。

【解】

合格するには、３問、または、２問正解でなければならない。

３問解ける確率は、

　　

２問解ける確率は

　　

したがって、合格する確率は

　　

（解答終了）

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