第８回 ベータ関数入門２ ベータ関数の重要な性質

第８回　ベータ関数入門２　ベータ関数の重要な性質

まず、ベータ関数の定義を与える。

定義

p>0、q>0に対して

　　

で定義されるB(p,q)をベータ関数という。

さて、ベータ関数には次の重要な性質がある。

定理　ベータ関数B(p,q)は次の性質を満たす。

（１）　任意のp>0、q>0に対して

　　

（２）　任意のp>0、q>0に対して
　　

（３）　自然数m、nに対して

　　

【証明】

（１）　t=1−xとおくと、x=0はt=1、x=1はt=0に対応し、

　　

だから、（１）を置換積分すると、

　　

（２）　1=x+(1−x)だから

　　

である。

したがって、

　　

0<s<t<1とおき、次の積分を部分積分すると

　　

また

　　

だから、
　　

したがって、

　　　　

（３）　（２）より

　　

また、

　　

だから、

　　

（証明終了）

nを自然数とするとき、ガンマ関数には次の性質がある。

　　

上の定理の（３）にこの関係を適用すると、

　　

この関係が自然数m、nだけでなく、正の実数p、qに対して

　　

が成立するかどうかだ。

 

定理　p>0、q>0に対して

　　

である。

【証明】

　　

したがって、
　　

ここで、x=rcosθ、y=rsinθとおき極座標変換をすると、

　　

となり、積分領域が

　　

と変わるので、
　　

【証明終了】

上記の定理中の

　　

というベータ関数とガンマ関数の関係式は、定積分の計算に活用できる非常に便利で強力な公式である。

たとえば、

　　

という定積分はベータ関数のp=4、q=5の場合だから、
　　

と、積分の計算をすることなく、簡単な階乗の計算で定積分の値を求めることができる。

のみならず、ベータ関数を用いることにより

　　

であることを簡単に証明できる。

m=1、n=1のとき

　　

この公式は、大学入試の重要公式である。

ベータ関数

　　

に対して

　　

として置換積分を適用すると、

　　

0<a<1とし、p=a、q=1−aとおくと
　　

複素解析から右辺の広義積分は

　　

したがって、

　　

a=1/2を（４）に代入すると
　　

タグ：微分積分 広義積分

f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か？の解答（怪答）

【お前らに質問！！】　f(x)の導関数f'(x)が奇関数のとき、f(x)は偶関数か？の解答（怪答）

【反例】

　　

とする。

この関数f(x)の導関数f’(x)は

　　

となり、f'(x)は奇関数。

 

私は、f'(x)が連続であるとも、f(x)が実数全域で微分可能だとも言っていません。ただ、f(x)の導関数f'(x)が奇関数だ、y=f'(x)のグラフが原点対称だと言っただけですよ(^^ゞ
そんな条件は上の命題の中のどこにも書かれていない！！

「この質問は引っ掛けだ。卑怯だ！！」

反論、ごもっとも。

しかし、関数のグラフが繋がっていること、関数が連続であることの大切さがわかったんじゃないですか(^^)

そして、
今日ほど、この曲がふさわしい日はないのではないでしょうか♪




あまり挑発的なことを書いて、反感を買うといけませんから、すこしご機嫌取りを。




「いつもあなたの味方です」のネムネコです。

ねむねこ幻想郷の皆さんにお尋ねしますが、 f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数か？

ねむねこ幻想郷の皆さんにお尋ねしますが、
f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数でしょうか？

例えば、

　　

ならば、

　　

となる。

これはf(−x)=f(x)が成立するから、f(x)は偶関数。

また、

　　

のとき、

　　

だから、このときもf(−x)=f(x)が成立する。

次の命題は正しそうな臭いがいがプンプンする。

命題

f(x)の導関数f’(x)が奇関数ならば、f(x)は偶関数である

 

さて、この命題は正しいか。

正しければ証明を、正しくなければ反例をあげよ。

ちなみに奇関数とは

　　

が成立する関数。

偶関数は

　　

奇関数の代表的な例としてf(x)=x、偶関数の代表例はf(x)=x²がある。

タグ：微分積分

第７回 ベータ関数入門１

第７回　ベータ関数入門１

p>0、q>0のとき、

　　

が絶対収束することを証明する。

【証明】

p≧1、q≧1のとき、通常の積分である。

そこで、

　　

と分けて考える。

0<p<1のとき、

　　

だから、

　　

は広義積分である。

また、0<q<1のとき

　　

だから、

　　

は広義積分である。

0<p<1のとき、0≦x≦1/2とすると、1/2≦1−x≦1である。

q>1のとき、

　　

0<q<1のとき

　　

である。

以上のことより、q>1、0<q<1のいずれであろうと、

　　

であり、

　　

0<p<1のとき、t>0とすると、
　　

だから、広義積分

　　

は絶対収束する。

次に

　　

を考える。

0<q<1とする。

1/2≦x≦1とする。

p>1のとき、

　　

0<p<1のとき

　　

いずれにせよ

　　

したがって

　　

0<t<1とすると
　　

したがって、広義積分

　　

は絶対収束する。

以上のことより、p>0、q>0のとき

　　

は絶対収束し、

　　

は絶対収束する。

（証明終了）

なお、上の証明では次の定理を使っている。

定理２（比較判定法）

関数f(x)、g(x)は(a,b]で不定積分をもち、

　　

であるとする。

このとき広義積分が収束すれば、広義積分も収束する。

区間[a,b)、[a,∞)、(−∞,b]についても同様である。

ベータ関数の定義

p>0、q>0に対して

　　

で定義されるB(p,q)をベータ関数という。

さて、x=sin²θとおくと、

　　

だから
　　

また、
　　
とおくと、

　　

したがって、
　　

とベータ関数B(p,q)を定義することができる。

問　次の広義積分の値を求めよ。

　　

【解】

　　

だから、（２）式にp=1/2、q=1/2を代入すると、
　　

（解答終了）

タグ：広義積分 微分積分

この広義積分の値を求められますか？ ガンマ関数、ベータ関数の序論にかえて

次の広義積分の値を求めるのは一見簡単そうですが、この値を求められますか？

問題　次の広義積分の値を求めよ。

　　

【解】

x=sin²θとおき、x=0のときθ=0、x=1のときθ=π/2とすると、

　　

そして、

　　

となるから、

　　

（解答終了）

これは、広義積分だから、実際はもう少し真面目に計算しないといけないけれど、まぁ、こうなる。

　――うるさいことを言うやつの口封じをするために、x→0+0のときθ=0+0、x→1−0ときθ=π/2−0――

x=sin²θという変数変換を思いつけば簡単に解けるけれど、しかし、この変換を自力で思いつける奴はそうそういないだろう。

ベータ関数やガンマ関数を知っている人は、

　　

と、この広義積分の値を求めるかもしれない。

そして、x=sin²θという変換は、このベータ関数の中で出てくるものだ（ベータ関数の三角関数表示）。

これまで長々と広義積分の話をしてきたのは、このガンマ関数Γ(s)とベータ関数B(p,q)という新しい関数導入の下準備。

今日から、こういった話になるので、少し面白くなると思うにゃ。

そして、取ってつけたようなラプラス変換の話までする予定です。

なお、
上の広義積分は次のように値を求めることもできる。
　　

だから、

　　

上の計算では

　　

という積分の公式を使っている。

こちらも、広義積分なので、もう少し細かい議論が必要になるが・・・

やるからには、ちゃんとやるケロ！！

タグ：微分積分 広義積分

第６回 ガンマ関数入門

第６回　ガンマ関数入門

s>0に対して

　　

は収束し、（１）式で定義される関数Γ(s)をガンマ関数という。

ガンマ関数の性質を調べることにする。

まず、s=1のときのガンマ関数の値を求めることにする。

　　

また、

　　

を部分積分すると、

　　

したがって、s>0のとき

　　

である。

特に、sが自然数nであるとき、（２）式から

　　

このことから、ガンマ関数は階乗を拡張したものと考えることができる。

もし

　　

と微分と積分の順序の交換が許されるのであれば（証明はしないが、事実、許される）、

　　

だから、

　　

となり、同様にn次導関数は

　　

である。

特にn=2のとき、

　　

となり、ガンマ関数Γ(s)は（下に）凸である。

さらに、（１）の変数をx=t²と変換すると、

　　

よって
　　

s=1/2のとき

　　

である。

（２）式より

　　

したがって、

　　

そして、ここで

　　

と定義すると、

　　

となる。

２重階乗を使わず（４）式を書き換えると、

　　

実関数としてのガンマ関数Γ(s)は、s>0で定義されるが、（２）式を

　　

と書き換え、s=−1/2を代入すると、

　　

と、ガンマ関数をs<0に拡張が可能である。

参考までに、s<0まで解析接続によって拡張されたガンマ関数Γ(s)とその逆数1/Γ(s)のグラフを以下に示す。

なお、下のグラフでは横軸にxをとっている。

　

タグ：微分積分 広義積分

第５回 広義積分の問題

第５回　広義積分の問題

問題１　次の広義積分の値を求めよ。

【解】

（１）　0<t<1とすると

　　

（２）　3<t<5とすると

　　

（解答終了）

問題２　次の広義積分の収束、発散を判定せよ。

【解】

（１）　(0,1]で。

広義積分は発散するので、広義積分も発散する。

（２）

　　

だから、

　　

とすると、

　　

g(x)は[0,1]で連続だから積分可能で、は収束する。

（３）　0<t<π/2とすると

　　

よって、広義積分は発散する。

（４）　t>2とすると

　　

よって、発散する。

（５）　t>2とすると

　　

（６）　x≧π/2で

　　

は収束するので、も収束する。

（７）

　　

0<x≦1のとき

　　

だから、
　　

とおくと、(0,1]で

　　

[0,1]でg(x)は連続で積分可能だから、広義積分は収束する。

また、x≧1で

　　

広義積分は収束するので、は収束する。

したがって、広義積分は収束する。

（解答終了）

タグ：微分積分 広義積分

第４回 広義積分の収束判定法２

第４回　広義積分の収束判定法２

定理４　区間(a,b]でf(x)は連続で、

（１）　0<λ<1であるλについてが有界ならば、広義積分は（絶対）収束する。

（２）　0<λ<1であるλについてが有界ならば、広義積分は収束する。

【証明】

（１）　仮定によってaの近傍a<x<a+δ（δ>0）で

　　

となる正数Mが存在する。

したがって、

　　

0<λ<1だから、

　　

と収束し、定理２、定理３により広義積分は収束する。

（２）は略。

（証明終了）

定理５　区間[a,∞)においてf(x)は連続で、λ>1であるλに関してが有界ならば広義積分は収束する。

【証明】

仮定より、十分大きなxに関して

　　

となる正の定数Mが存在する。

よって、

　　

t>aとすると
　　

λ>1のとき

　　

と収束するので、広義積分は収束する。

（証明終了）

 

問題　次の問いに答えよ。

（１）　0<s<1のとき広義積分が収束することを示せ。

（２）　0<s<1のとき広義積分が収束することを示せ。

【解】

とする。

（１）　0<x≦1において

　　

よって、定理４より広義積分は収束する。

（２）　x≧1で

　　

また、x≧1では有界だからも有界。

したがって、定理５より広義積分は収束する。

（解答終了）

以上のことから、0<s<1のとき

　　

は収束する。

無理やり定理４、定理５を使っている(^^ゞ

（１）は、次のように解くのがいいのでしょう。

【（１）の別解】

とおくと。

0<s<1のとき、x>0でf(x)は単調減少。

したがって、0<x≦1のとき

　　

また、0<s<1より−1<s-1<0だから広義積分は収束する。

よって、広義積分は収束する。

（別解終了）

ここからは、s>0についての一般論。

s=1のときだから

　　

s>1のとき、f(x)は閉区間[0,1]で連続だからは通常の積分でこの値は存在する。

したがって、の収束を議論すればよい。

をマクローリン展開すると

　　

したがって、x≧0では

　　

というこで、t>1とすると、s<nとなる正の整数nをとると、
　　

n−s>0だから

　　

したがって、広義積分は収束する。

以上のことから、s>0のとき

は収束する。

そして、これをガンマ関数という。

すこし議論が錯綜しておりますが(^^ゞ

タグ：広義積分 微分積分

第３回 広義積分の収束判定法

第３回　広義積分の収束判定法

広義積分の収束判定に関する定理を幾つか紹介することにする。

定理１

関数fを半開区間(a,b]（あるいは[a,b)）で連続とする。が収束するための必要十分条件は、任意の正数εに対して正数δが存在が存在し、a<p<q<a+δ（またはb−δ<p<q<b）に対して

　　

が成り立つことである。

定理２（比較判定法）

関数f(x)、g(x)は(a,b]で不定積分をもち、

　　

であるとする。

このとき広義積分が収束すれば、広義積分も収束する。

区間[a,b)、[a,∞)、(−∞,b]についても同様である。

【証明】

a<t<bとする。
　　

とすると、広義積分が収束するので、

　　

であり、は収束する。

したがって、定理１より任意のε>0に対して、あるδ>0が存在して
　　

よって、

　　

となり、、つまり、広義積分は収束する。

[a,b)、[a,∞)、(−∞,b]についても同様である。

（証明終了）

このような関数g(x)を優関数という。

蛇足ながら、条件｜f(x)｜≦g(x)（a<x≦b）より、a<x≦bにおいてg(x)≧0だから

　　

となり、

　　

である。

定理３

関数f(x)が(a,b]で不定積分をもち、広義積分が収束すれば広義積分も収束する。

[a,b)、[a,∞)、(−∞,b]についても同様である。

【略証】

広義積分は収束するので、任意のε>0に対して、あるδが存在し、

　　　

よって、

　　

[a,b)、[a,∞)、(−∞,b]の証明についても同様。

（略証終了）

 

問１　広義積分

　　

が絶対収束することを示せ。

【解】

x≧0のとき

　　

である。

また、
　　

は、t>0とすると

　　

となり、広義積分は収束する。

したがって、定理２より広義積分は収束し、広義積分は絶対収束する。

（解答終了）

 

問２　広義積分

　　

が収束することを示せ。

【解】
　　

と考える。

右辺第１項は[0,1]においてが連続なので通常の積分なので存在する。したがって、右辺第２項の広義積分

　　

の収束判定をすればよい。

x≧1のとき

　　

α=3/2>1だから補題より広義積分は収束する。

したがって、定理２より
　　

は収束する。

よって、広義積分

　　

は収束する。

（解答終了）

問３　広義積分

　　

が条件収束することを示せ。

【解】

　　

と分けて考えることにする。

右辺第１項の

　　

については、(0,π/2]で

　　

であり、

　　

とおけば、定理２より広義積分

　　

は収束する。

したがって、広義積分

　　

が収束することを示せばよい。

そこで、π/2<tとすると

　　

ここで、

　　

また、

　　

であり、
　　

と収束するので、定理２より広義積分

　　

も収束する。

したがって、広義積分
　　

は収束する。

（解答終了）

タグ：微分積分 広義積分

第２回 広義積分の計算例

第２回　広義積分の計算例

問題１　次の広義積分の値を求めよ。

【解】

（１）　t>0とすると
　　

したがって、

　　

（２）　t>eとすると

　　

ロピタルの定理より

　　

よって、

　　

（３）　t>1とすると

　　

ここで、

　　

だから、

　　

（解答終了）

なお、

　　

は、−x²=sとおき、置換積分を用いると

　　

問題２　次の広義積分は収束するか。収束するならば、その値を求めよ。

　　

【解（？）】

　　

（解答？終了）

と、解いてはいけない。

何故ならば、x=0では連続でなく、公式

　　

を使えないからだ。

（１）は、−1<s<0、0<t<1とすると

　　

の意味であり、
　　

で、ともに発散し有限の値をもたないのでは発散する。

また、0<t<1として
　　

と計算することもできないので注意！！

何故だろうか？

 

問題３　次の広義積分は収束するか。収束するならば、値を求めよ。

【解】

（１）　α=1のとき

0<t<1とすると、

　　

だから

　　

α≠1のとき

0<t<1のとき

　　

ゆえに、

　　

（２）　α≠1のとき
　　

α=1のとき

　　

（３）

　　

と考える。

s>0とすると

　　

t>0とすると

　　

したがって、

　　

（解答終了）

問題３の（１）、（２）の結果をまとめると、次のようになる。

定理　αを実数とする。

（１）　広義積分が収束する必要十分な条件はα<1である。

（２）　広義積分が収束する必要十分な条件はα>1である。

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