定積分の応用 面積１

定積分の応用　面積１

§１　平面図形の面積

（１）　曲線と座標軸との間の面積

曲線y=f(x)（a≦x≦b）とx軸との間の面積をSとすると

　　

特に、

　　

曲線x=g(y)（α≦x≦β）とy軸との間の面積をSとすると

　　

（２）　２曲線間で囲まれた部分の面積

区間a≦x≦bにおける２つの曲線y=f(x)、y=g(x)の間の面積をSとすると

　　

特に、

　　

§２　平面図形の面積についての基本問題

復習をかねて、y=f(x)、x=g(y)が整関数である場合についての基本問題を解くことにする。

問題１　次の図形の面積を求めよ。

（１）　曲線y=x³−6x²+9x−4と直線y=x−4で囲まれた部分

（２）　放物線y²=2x+5と直線y=x+1で囲まれた部分

【解】

（１）　y=x³−6x²+9x−4とy=x−4との交点のx座標は

　　

したがって、面積は
　　

（２）　y²=2x+5とy=x+1をxについて解くと

　　

よって、放物線と直線の交点のy座標は
　　

したがって、面積は

　　

（解答終了）

（２）は、前回証明した公式

　　

に対して、a=−1/2、α=−1、β=3とおくことによって、

　　

と計算することもできる。

また、放物線y²=2x+5を
　　
と考えるならば（上図参照）、次のように計算することができる。

　　

xの関数と考えて面積を求めようとすると、計算が大変になる。

問題２　次の図形の面積を求めよ。

（１）　曲線とx軸、および直線x=3で囲まれた部分

（２）　双曲線とx軸、y軸の正の部分によって囲まれた部分
（３）　２つの曲線y=x²と√x+√y=2とy軸とで囲まれた部分

【解】

（１）

　　

（２）

　　

したがって、
　　

（３）

　　

この曲線とy=x²の交点のx座標を求めると

　　

よって、求める面積は

　　

（解答終了）

 

問題３　次の不等式を同時に満足する領域の面積を求めよ。

【解】

（１）　x²+y²=2とx=y²の交点のx座標を求めると

　　

x=−2は解として不適なのでx=1。

したがって、面積Sは

　　

ここで、
　　

よって、

　　

（２）　とはy=xに関して対称。

したがって求める面積Sは、

　　S=□OABC−2×斜線部の部分の面積

曲線は

　　

斜線部の面積は

　　

したがって、Sは
　　

（解答終了）

タグ：微分積分

２次関数の面積の公式

２次関数の面積の公式

問題１　放物線y=−(x−1)(x−3)とx軸で囲まれる部分の面積を求めよ。

【解】

放物線y=−(x−1)(x−3)とx軸の交点のx座標はx=1、x=3。

　　

したがって、面積Sは
　　

（解答終了）

すこし計算に工夫をするならば、次のように計算することもできる。

【別解】

　　

したがって、
　　

（別解終了）

大袈裟だけれど、t=x−1とおいて次のように置換積分を用いて計算することもできる。

【別解２】

x−1=tとおくと、x=t+1。

x=1はt=0、x=3はt=2に対応し、dx=dtだから
　　

（別解２終了）

なのですが、実は、次のような便利な公式が存在する。

　　

この公式を使うと、問題１の答えは、α=1、β=3とおき、

　　

と簡単に求めることができる。

公式（１）の証明は、問題１の解答のように真面目に計算すると、計算が大変なので、別解の手法を用いて証明することにする。

【公式（１）の証明】

　　

だから、
　　

（証明終わり）

ということで、

二次方程式ax²+bx+c=0の解をα、βとするとき、放物線y=ax²+bx+cとx軸とで囲まれる面積Sは、

　　

二次方程式ax²+bx+c=0の解がα、βだから、

　　

になるから、公式（１）より（２）を容易に導ける。

（２）に絶対値がついているのは、α<βとすると、x軸と放物線yとの位置関係より、

a>0のとき、面積は

　　
a<0のとき

　　

になるから。

 

問題２　次の部分の面積を求めよ。

（１）　放物線y=x²と直線y=−x+2とで囲まれた部分

（２）　２つの曲線y=2x²−5x、y=−x²+x+12

【解】

（１）　放物線y=x²と直線y=−x+2との交点のx座標を求めると、

　　

よって、面積Sは
　　

（２）　２つの曲線y=2x²−5x、y=−x²+x+12の交点を求める。

　　

α=1−√5、β=1+√5とおくと
　　

β−α=2√5だから、

　　

（解答終了）

 

問題２の（１）は

　　

と真面目に計算してもいいけれど、それでも、やはり計算が大変だ。まして、（２）は根号を含む計算だからなおのこと大変。公式（１）の有り難みを理解できるのではないか。
（２）では、実際に、交点のx座標を求めているけれど、２次方程式①の解と係数の関係より、α+β=2、αβ=4となるので、α<βとすると、

　　

と計算することもできる。

問題３　次の等式が成り立つことを証明せよ。

　　

【証明】

　　

したがって、
　　

（証明終了）

タグ：微分積分

積分を用いた不等式の証明

積分を用いた不等式の証明

問題１　x>0のとき、次の不等式が成立することを証明せよ。

微分を使って証明するならば、たとえば、次のような証明になるだろう。

【証明】

　　

f(x)はx>0で微分可能。

そこで、f(x)の変化を調べるために、f(x)を微分すると

　　

したがって、f(x)はx≧0で単調増加。

よって、

　　

（証明終了）

また、とすると、

　　

したがって、y''>0で、この関数yは下つに凸。

また、x=0におけるこの曲線の接線の方程式は

　　

下に凸の関数の性質（曲線は接線の上側にある）より、x>0ならば

　　

である。

（右図参照）

この他にも、微分を用いた証明法はいくつかあるだろう。

なのだけれど、積分を使うと、次のように簡単に証明できてしまう。

【積分を用いた証明】

　　

したがって、x>0ならば、

　　

（証明終わり）

実は、これだけでなくて、

　　

だから、x>0のとき

　　

同様に、順次計算することによって

　　

を証明することができる。

正確な証明をするならば、数学的帰納法を使って。

問題２　積分を使って次の不等式を証明せよ。

　　

【証明】

（１）　t>0ならば、

　　

したがって、x>0ならば

　　

t>0のとき

　　

だから、x>0のとき

　　

以上のことより、

x>0ならば

　　

（２）　x>1とすると、t∈(1,x)の任意のtに対して

　　

よって、
　　

0<x<1とすると、t∈(x,1)の任意のtに対して

　　

よって、
　　

x=1のとき、

　　

となり、等号が成立。

よって、

　　

（証明終わり）

問題２の（２）より、x>0のとき

　　

この両辺にxをかけると

　　

これは、定積分と不等式１の問題３の（１）の不等式であり、積分を使ってこの不等式を証明したことになる。

また、（２）の不等式

　　

にxをかけると

　　

さらに

　　

したがって、ハサミ打ちの定理より

　　

である。

ワンポイントゼミ２２では、ロピタルの定理を使ってこの極限を求めたが、ロピタルの定理を使うことなくこの極限を求めることができた。

タグ：微分積分

定積分と不等式２

定積分と不等式２

問題１　（シュワルツの不等式）

（１）　a、bは定数で、a<bとし、f(x)とg(x)はa≦x≦bで連続な関数とする。a≦x≦bなる範囲で

　　

とおくとき、

　　

であることを証明せよ。

（２）　次の不等式（シュワルツの不等式）を証明せよ。

　　

【解】

（１）

　　

（２）　（１）より、F'(x)はa≦x≦bでF'(x)≧0であり、また、F(a)=0。

よって、a≦x≦bでF(x)は増加関数で、
　　

（解答終了）

シュワルツの不等式

　　

の一般の証明法は次の通り。

a<b、そして、tを任意の実数とすると

　　

任意の実数tについて①が成り立つので、

　　

そして、問題１は、この別な証明である。

問題２　f(x)、g(x)をx≧0で定義された正の値をとる連続関数で、g(x)は連続関数であるとする。このとき、

　　

に対して次の問に答えよ。

（１）　すべてのx>0に対してである。

（２）　はx>0で増加関数である。

ここで一般に増加関数であるとは、x₁<x₂ならばh(x₁)≦h(x₂)が成立することをいう。

【解】

（１）　仮定によって0≦t≦xにおいてg(0)≦g(t)≦g(x)。

また、f(t)>0だから

　　

（２）

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

ワンポイントゼミ２２ 定積分と不等式１の補足

ワンポイントゼミ２２　定積分と不等式１の補足

定積分と不等式１で出てきた内容を補足することにする。

まず、次の不等式を証明することにする。

　　

【証明】

　　

とし、f(x)の変化を調べるために、xで微分する。

　　

したがって、0<x<π/2でf'(x)>0で、f(x)は単調増加。

よって、

　　

次に

　　

とする。

　　

cosα=2/πとすると、g(x)の増減表は

となり、x=0、x=π/2のときに最小で、最小値は0

よって、0<x<π/2において

　　

（証明終了）

次に、

　　

の極限を求めることにする。

　　

と考えると、x→0+0のとき、logx→−∞、1/x→+∞となり、①の極限はいわゆる不定形の極限になる。

そこで、ロピタルの定理を使うと

　　

になる。

問題３の（１）のグラフで

　　

の

　　

は、こうして求めている。

x=0のところで白抜きの丸で表現されているのは、そういうわけです。

（下図参照）

タグ：微分積分

定積分と不等式１

定積分と不等式１

問題１　a>0、b>0のとき、次の不等式を証明せよ。

　　

【解】
　　

とおくと、b=c²+2、a>0、b>0。

　　

よって、

（解答終了）

 

等号が成立するのは

　　

また、

　　

とおくと、関数gは関数fの逆関数。

このことに注目すると、
　　

abは斜線部の面積S、はピンク色の部分の面積S₁、は薄紫色の部分の面積S₂に相当するので、S≦S₁+S₂となり、①が成立する。

問題２　次の不等式を証明せよ。

　　

【解】

（１）　0<x<1/2で

　　

したがって、
　　

ここで、

　　

では、x=sinθ（−π/2≦θ≦π/2）とすると、

　　

x=0のときθ=0、x=1/2のときθ=π/6。

したがって、

　　

（２）

　　

0<x<1では

　　

よって、0<x<1では

　　

（３）

　　

また、cosxは0<x<π/2において減少関数だから

　　

したがって、
　　

（解答終了）

類題　次の不等式を証明せよ。

　　

（ヒント）

　　

問題３

（１）　すべての正の数xに対して、不等式

　　

が成り立つことを証明せよ。

（２）　[0,1]で正の値をとる連続関数f(x)が条件

　　

を満たすとき、不等式

　　

が成り立つことを証明せよ。

【解】

（１）

　　

とおき、xで微分すると、

　　

よって、g(x)はx=1のとき極小かつ最小。

　　

（２）　[0,1]でf(x)>0だから、（１）より[0,1]において

　　

が成立。

したがって

　　

（解答終了）

タグ：微分積分

定積分で表された関数２

定積分で表された関数２

問題１　xの関数

　　

の極値を調べ、y=F(x)のグラフの概形をかけ。

【解】

xで微分すると

　　

0≦x≦2πでになるのは、sinx=−1になるのはx=π。

　　

F(x)の増減表は
　　
よって、

　　

よって、グラフは次の通り。

（解答終了）

問題２　次の関数の最大値、最小値を求めよ。

【解】

　　

とすると、
　　
よって、増減表は

　　

t=2sinθ（−π/2≦θ≦π/2）とおくと、

　　

よって、
　　

は偶関数だから

　　

また、
　　

よって、

x=0のとき最大で、最大値は

x=±1のとき最小で、最小値はπ

（解答終わり）

問題３　0≦x≦π/2において

　　

と定義される関数f(x)の最小値をを求めよ。

【解】

　　

だから、
　　　　

よって、

　　

増減表を書くと

よって、x=π/4のとき最小で、最小値はf(π/4)=√2−1

（解答終わり）

この問題３の類題は大学入試に何度も出ている。

例えば、

 

類題１　a>0のとき、

　　

を最小にするaを求めよ。

（答）

　　

問題４　a≦x≦bにおいてf'(x)<0である関数f(x)に対して、

　　

は、のときに最小になることを証明せよ。

【略証】
　　

a≦x≦bにおいてf'(x)<0だから、f(x)はa≦x≦bで単調減少。

tで微分すると

　　

よって、のときに極小、かつ、最小。

（略証終わり）

f'(x)>0の場合の証明も行っている。

そして、問題３、類題は、この問題４の特殊な場合。

 

問題５　f(t)がt≧0において連続な関数であるとき、

　　

はx>0において増加関数であることを証明せよ。

【解】

　　

f(t)はt≧0で増加関数だから、0<t<xではf(t)<f(x)

したがって、
　　

よって、x>0では

　　

で、F(x)は増加関数である。

（解答終了）

この問題は、さらに次のように一般化することができる。

関数f(x)が[a,b]で連続な増加関数ならば

　　

はa<x<bで増加関数である。

定積分の形で表される関数１

定積分の形で表される関数１

定積分の形で表される関数は、おもに、次の２つのタイプ

　　

（２）のタイプについては

　　

また、F'(x)=f(x)とおくと、
　　

よって、

　　

問　次のものを求めよ。

【解】

　　

とおく。
　　

（解答終了）

では、問題演習を。

問題１　次の関係式を満たすように関数f(x)を定めよ。

　　

【解】

　　

とおくと、

　　

したがって、
　　　　

よって、

　　

（解答終了）

 

問題２　次の関係式を満たす関数f(x)を求めよ。

【解】

（１）　両辺をxで微分すると

　　

①は恒等的に成立するので

　　

x=2のとき

　　

したがって、x=2のとき

　　

（２）

　　

両辺をxで微分すると

　　

もう一度xで両辺を微分すると

　　

（解答終了）

 

問題３　次の極限値を求めよ。

【解】

　　

とおくと、
　　

したがって、

　　

（解答終了）

問題４

　　

の最小値を求めよ。

【解】

　　
ここで、
　　

だから、

　　

よって、

x=4/πのとき最小で、最小値は
　　

（解答終了）

定積分の近似計算

定積分の近似計算

（１）　台形公式　積分区間[a,b]をn等分して用いる。

　　

台形公式は、

　　

と近似し、
　　

としている。

（２）　シンプソンの公式　積分区間[a,b]を2n等分して用いる。

　　

問題１　シンプソンの公式を導くのに用いられる次の等式を証明し、これによって、シンプソンの公式は、積分区間の等分数（偶数等分）にかかわらず、f(x)が３次以下の整式のとき真の値を与えることを示せ。

【解】

（１）　f(x)=px³+qx²+rx+sとおくと、
　　

また、

　　

よって、f(x)が３次以下の整式のとき

　　

（２）

　　

とおき、x=t+cとすると、

　　

さらに、x=aのとき、t=−h、x=bのときx=bのときt=h。

したがって、

　　

とおくと、（１）より

　　

また、
　　

だから、これを①に代入すると、

　　

（解答終了）

 

問題２　f(x)が２次関数で、f(−3)=5、f(0)=8、f(3)=2であるとき、

　　

を求めよ。

【解】

f(x)は２次関数だから、シンプソンの公式より

　　

（解答終了）

 

問題３　区間[0,1]を４等分して、台形公式、シンプソンの公式によって、

　　

の近似を求めよ。

また、シンプソンの公式から求めた近似値からπの近似を求めよ。

【解】

[0,1]を４等分した点0、1/4、1/2、3/4、1に対する被積分関数の値をy₀、y₁、y₂、y₃、y₄とすると

　　
したがって、

台形公式による近似値は
　　

シンプソンの公式による近似値は

　　

x=tanθとおくと

　　

また、

　　

x=0のときθ=0、x=1のときθ=π/4だから

　　

シンプソンの公式より

　　

（解答終わり）

 

問題４　0から1までを４等分して、シンプソンの公式から

　　

の近似値を求めよ。

【解】

[0,1]を４等分した点0、1/4、1/2、3/4、1に対する被積分関数の値をy₀、y₁、y₂、y₃、y₄とすると

　　

したがって、
　　

（解答終了）

定積分と区分求積法

定積分と区分求積法

§１　定積分と区分求積法

f(x)が閉区間[a,b]で連続であるとき、この区間をn等分し、

　　

とし、

　　

とすると、
　　

である。

ここで、

　　

例

f(x)=x²のとき、

　　

を、区分求積法を用いて求めてみる。

a=0、b=1として、これをn等分すると

　　　　

したがって、

　　

よって、

　　

§２　数列の和の極限への定積分の応用

問題１　定積分を利用して、次の極限値を求めよ。

【考え方】

　　

ここで、考え方２つある。

考え方１

　　

と考えて、

　　

考え方２

　　

と考え、

　　

どちらの考え方でこの極限値を求めてもいいが、ここでは考え方２を使って問題を解くことにする。

（２）

　　

だから、

　　

と考え、
　　

ここで、x=2sinxとおき、置換積分を使うと

　　

（３）は

　　

と変形し、

　　

と考え、
　　　

とすればよい。

【解】

（解答終了）

問題２　定積分を用いて次の不等式を証明せよ（n≧2）。

【解】

（１）　0<k−1<x<kにおいて

　　

k=2からk=nまでの和をとると

　　

つまり、

　　

（２）

　0<k<x<k+1とすると

　　

である。

　　

k=1からk=n−1までのの左辺と右辺の和をとると
　　

である。

　　

k=1からk=nまでの右辺と左辺の和をとると
　　

①と②より

　　

（解答終わり）

タグ：微分積分