［境界方程式の組み立て（ラプラス型）］

［境界方程式の組み立て（ラプラス型）］

　ここまでで境界方程式（内点方程式）を作成する計算公式は全て出揃ったので、いよいよ境界方程式を組み立てます。

 

　境界方程式と内点方程式は以下でした。

　　

 

　内点方程式(2)の左辺の境界積分を、図-1の一要素kだけ取り出して書いてやると、境界上でψ(c)とその外法線微分値q(c)を線形近似した場合、

　　

の形になります。

　ψ_jやq_jは、境界要素kの両端点にある境界節点jとj+1でのψ(c)とq(c)の値を表し、これらが未知数です。b_j^(k)やh_j^(k)は、境界要素kの配置と特異点(ξ，η)の位置だけから計算できるのでした。具体的な形は前回にあります。

 

　図-1に示したように、要素kの節点j+1は、隣の要素k+1と共有されるので、そこに注意して(2)の左辺を(3)，(4)を使って書くと、

　　

となります。いま境界要素はn個あり、境界要素と節点は左回りに順序付けられているとします。ψ₁とq₁の係数にb₁⁽ⁿ⁾とh₁⁽ⁿ⁾が現れるのは、要素nと要素1が節点1を共有するからです（図-1）。また境界要素と節点が同数あるのは、図-1から明らかです。式(5)で各ψ_j，q_jの係数を、B_j，H_jと書く事にします。

　　

です（j＝1の場合は、適当に変更して下さい(^^;)）。Σ記号を導入して、

　　

と書けます。一方(2)の右辺はψ^*もgも既知関数なので、なんとかすれば具体的値がわかるだろう、という事で(^^;)、たんにwと書きます。よって、

　　

　ところで内点方程式(2)の目的は、基本解の特異点(ξ，η)を任意に動かして、解析領域R内の任意の位置における未知関数ψの値を、ψ(ξ，η)の形で得る事でした。(ξ，η)の位置が変われば、B_j，H_j，wの値も当然変わります。そこで、(ξ，η)＝(ξ_i，η_i)に取った時の値をB_ij，H_ij，w_iと書く事にします。

　i＝1，2，・・・，[何個でも良い]です。

　そのような意味で式(8)は、

　　

と書くべきだぁ～という事になります。

 

　次に前回の結果から、特異点(ξ_i，η_i)を節点jに近付けて行けば、式(9)左辺のψ_jに関する和、

　　

から自然に、

　　

が導かれ、内点方程式(2)は連続的に境界方程式(1)に移行できるのでした。k_jは、節点jにおける境界の内角です。

　(ξ_i，η_i)→節点jの時のB_ij，H_ijの具体的形も前回の結果で与えられます。一般に式(11)に相当する項は境界要素法では、自由項（free Term）と呼ばれます（←あまり役に立たない蘊蓄(^^;)）。

　(10)，(11)が起きるのは、(ξ_i，η_i)が節点jに一致する時だけだという事に注意し、式(9)を境界方程式として書き直すと、

　　

になりますが、今度は(ξ_i，η_i)がどれかの節点jと一致するので、i＝1，2，・・・，nです。

　なおd_ijは、クロネッカーのデルタです。普通それはδ_ijと書かれますが、今までδはデルタ関数や変分の意味にさんざん使ってきたので、ここはdにしました(^^;)。

 

　式(12)をさらに整理するために突然ですが、行列とベクトルの積を思い出して下さい。行列A＝(a_ij)とベクトルx＝(x_i)との積は、

　　

って書きますよね？。これを成分で書くと、

　　

ですよね？。・・・式(12)と同じじゃないですか！(^^)。

　　

です。

　さらに、

　　

と以後略記します。(14)で行列はn×nの正方行列、ベクトルの次元は必ずnです。

　　

　形式的には式(15)が、境界節点で離散化して組み立てられた境界方程式の全てです。ψとqの係数行列BとHは既知であり、wも既知ベクトルです。後は(15)を、ψとqに関する連立一次方程式とみなして解けば良い訳ですが、なお留意点がいくつかあります。

 

タグ：境界要素法 数値解析

直交軸のの変換と方向余弦、そして、クロネッカーのデルタ

直交軸の変換と方向余弦、そして、クロネッカーのデルタ

 

２次元でも３次元でも基本的に仕組みは同じなので、２次元の直交座標O-x¹x²からO-x'¹x’²への座標軸軸の変換について考える。

x¹、x²軸のの基本ベクトルを、x’¹、x'²軸の基本ベクトルをとし、のに対する方向余弦を、のに対する方向余弦をとすると、

である。

総和記号Σを用いると、（１）式は

と書くことができる。

 

は基本ベクトルなので、ベクトルの大きさは１である。つまり、

である。

したがって、

 

３次元の直交座標系O-x¹x²x³とO-x'¹x'²x'³の場合、

とすると、

である。

また、

になる。

ところで、O-x'¹x'²x'³は直交座標系だから、i≠jのとき、

になる。

したがって、

 

（５）と（６）から

となり、

である。

ここで、

である。

 

方向余弦に関する関係式（７）はとても重要で、テンソルを用いた計算ではかならずと言ってもいいほど出てくるものなので、絶対に覚えて欲しい！！

 

タグ：ベクトル解析 テンソル

英、「清算金」譲歩は小幅 第４回ＥＵ離脱交渉 日経

英、「清算金」譲歩は小幅　第４回ＥＵ離脱交渉 https://t.co/tO6FhZxlAx

— 日本経済新聞 電子版 (@nikkei) 2017年9月28日

方向余弦とクロネッカーのデルタなど

方向余弦とクロネッカーのデルタなど

 

xy平面上に原点Oからの距離がa>0である点Aがあるとする。つまり、である。

点Aの座標を(A₁,A₂)とすれば、

　　

である。

ベクトルとx軸、y軸の正の向きとなす角をそれぞれα、βとすると、

　　

となるので、（１）式より

　　

となる。

このを方向余弦という。

 

３次元の空間の点の場合は、A=(A₁,A₂,A₃)とし、とx軸、y軸、z軸の正の向きとなす角をそれぞれα、β、γとすれば、

　　

さらに、

　　

なので、

　　

このを方向余弦という。

３次元の場合、とし、ベクトル方向余弦をl、m、ｎであらわす。このとき、

　　

である。

 

再び、２次元のベクトルに戻り、x軸、y軸の正の方向をもつ、大きさ１のベクトル、つまり、x軸、y軸の基本ベクトルをとすると、内積の定義より

　　

特に、ベクトルが単位ベクトル、つまり、のとき、方向余弦は

　　

と、基本ベクトルと与えられる。

同様に、３次元の場合は、方向余弦l、m、nは、

　　

ここで、はz軸の基本ベクトルである。

 

ところで、２つの基本ベクトルの内積には次の関係がある。

　　

クロネッカーのデルタは

　　

だから、基本ベクトルの内積は

　　

とクロネッカーのデルタを用いてあらわすことができる。

 

ところで、との内積を求めると、

　　

総和記号Σを使うと、

　　

同様に、

　　

これをまとめると、

　　

 

特に、が単位ベクトルのとき、その方向余弦と添字つきのlであらわすと、

　　

になるので、

　　

 

今後、クロネッカーのデルタを使った計算がウンザリするほど出てくるので、

　　

⑨の公式は重要だケロ。

そして、

⑨の公式をじっと見つめると、ある種の規則性に気付くと思う・・・。

 

問　の方向余弦を求めよ。

【解】

　　

したがって、

　　

は、と同じ方向の単位ベクトル。

よって、方向余弦l、m、nは

　　

（解答終）

タグ：テンソル ベクトル解析

第３回 ベクトルのテンソル積

第３回　ベクトルのテンソル積

 

２つのベクトルA、Bが与えられているとする。任意のベクトルxに対して

　　

とおけば、Sは線形条件を満たすのでテンソルである。

何故ならば、a、bをスカラー（実数）、x、yを任意のベクトルとし、

　　

であるから。

このテンソルSをベクトルAとBのテンソル積といい、記号S=A⊗Bであらわす。すなわち、

　　

となるA⊗Bの成分をとすれば、

　　

となる。ここで、

　　

である。

したがって、S=A⊗Bの成分は次式で与えられる。

　　

すなわち、

　　

である。

特に、基本ベクトルの９個のテンソル積は

　　

になる。

また、任意のベクトルに対して

　　

が成り立つ。

 

任意のテンソルTの成分をとし、テンソルSを

　　

で定義する。このとき、任意のベクトルに対して、

　　

よって、

　　

になる。

ゆえに、任意のベクトルxに対してが成り立ち、T=Sである。

したがって、任意のテンソルTについて

　　

が成り立つ。

 

問１　について、テンソルu⊗vの成分を求めよ。

【解】

　　

（解答終）

 

問２　単位テンソルIは次のように表せることを示せ。

　　

【解】

　　

したがって、

　　

（解答終）

 

タグ：テンソル

［内点方程式から境界方程式へ（ラプラス型）］

［内点方程式から境界方程式へ（ラプラス型）］

 

　前回までで内点方程式の境界積分公式を与える事ができました。同様に境界方程式の境界積分公式も作れるはずです。境界方程式では、基本解の特異点(ξ，η)は境界節点j＝1，2，・・・のどれかと一致します。そこで、(ξ，η)が最初から節点jやj+1と一致した図-2を考え、最初から(ξ，η)を境界上において積分計算を実行すれば良い訳です。それは実行可能ですが、初めから積分計算をやり直す事にもなります(^^;)。

　それならばという事で、今までの結果を再利用するという手があります。つまり前回までの結果で(ξ，η)が節点jやj+1に近づく極限を試す、という方法です。これは上手く行く上に、境界要素法に関わるある種の曖昧さの一つを解消できます。

 

　図-2の(ξ，η)が節点j+1に近づく極限を考えます。これはr₂→0という事なのでr₂＝εと表し、またγ₂がεの方向である事を明示するためにγ^(j+1)と書く事にすると、容易に（図をにらむだけ(^^)）、

　　

を導けます。これらの条件を考慮すると、前回の積分公式の極限は、

　　

を使って、

　　　
　　

 　　

 　　

　同様に(ξ，η)→節点jでは、r₁＝ε，γ₁＝γ^(j)と表す事にして、

　　

なので、

　　

を得ます。

　これらを、［境界積分の積分部品（ラプラス型）］の最後のボトムアップ公式、

　　

 に代入すれば要素k上で、境界方程式の境界積分は、

　(ξ，η)→節点j+1の時：

　　

　(ξ，η)→節点jの時：

　　

となります。

 

　注目は次です。以上の計算は、基本解の特異点を図-1の解析領域Rの内点として、(ξ，η)→節点j，j+1とした状況なので、内点方程式、

　　

の(ξ，η)→節点j，j+1の極限を取った状況です。式(17)の境界積分では要素kだけでなく、全ての要素の積分値を足すので、要素k上の積分値には必ずその隣の要素k+1での値も足されます。

　式(17)左辺において、節点j+1を共有する要素kと要素k+1に注目します（図-3）。図-3で(ξ，η)が節点j+1に近づいた時のψ_j+1の項をまとめます。

 

　式(12)，(15)と図-3の記号を使って、

　　

 

　ここにβ^(k+1)とβ^(k)は、要素k+1と要素kの外法線方向である事の明示です。

　(ξ，η)→節点j+1でした。従って、ψ(ξ，η)→ψ_j+1です。

　　

になります。

　ところが図-4に示すように、要素k+1は節点j+1からj+2にいたる線分で、その方向はβ^(k+1)＋π/2，要素kは節点jからj+1にいたる線分で方向はβ^(k)＋π/2。よって(β^(k+1)－β^(k))は、要素k+1と要素kの方向差です。図-4からπ－(β^(k+1)－β^(k))は、節点j+1の内角k_j+1となり、式(18)が得られます。

　この意味するところは、内点方程式(17)で(ξ，η)を境界に近づけたら、内点方程式は境界方程式、

　　

に化けたという事です。

　境界要素法の普通の定式化では、境界上でのデルタ関数の再評価で式(18)を導くので、(18)は(17)と無関係に不連続に成り立つように見えますが、ちゃんと積分してやれば、内点方程式から境界方程式へちゃんと連続的に移行できるのがわかります。数学ってなんて正直！(^^)。

　もっとも内点方程式から境界方程式への移行には式(1)が必要で、この計算はコンピュータには無理ですから、計算プログラム上は人間が式を使い分けてやる必要はあります(^^;)。

 

　これで計算準備はほとんど整いました。残ったのは式(17)，(18)右辺の領域積分項ですが、これは比較的簡単に扱えるので後回しにします。次にやる事は、数値計算用の境界方程式を組立てです。

 

※

　ここまでの内容を日本で最初に論文にしたのは、静電場解析にラプラス型の境界要素法を応用した、北大電気工学科の先生です（1980年代）。先生の名前は忘れましたが、2次元境界要素法，解析的積分あたりでググれば（かつ幸運なら）、その論文なんかにヒットするかも知れません。この先生はさらに、3次元領域表面を3角形メッシュで離散化した場合の、ラプラス型境界要素法の境界積分の解析的積分公式も与えています。いずれにしろ、「岩波数学公式集ゅう～～！」・・・です(^^)。

タグ：数値解析 境界要素法

第２回 テンソルの演算

第２回　テンソルの演算

 

§１　テンソルの演算

 

２つのテンソルTとSが与えられたとする。このとき、任意のベクトルxに対して

　　

とおけば、線形条件

　　

が成立する。

したがって、Wはテンソルであり、このWを２つのテンソルTとSの和といい、記号W=T+Sであらわす。

同様に、任意のベクトルxに対してとおけば、Uはテンソルとなり、このUをテンソルTとSの差といい、記号U=T−Sであらわす。

 

テンソルTとSの成分をとすれば、

　　

また、

　　

 

スカラー（実数）aとテンソルTが与えられているとする。任意のベクトルxに対して

　　

とおけば、Vは線形条件を満たすので、Vはテンソルであり、このVをスカラーaとテンソルTの積といい、記号aTであらわす。

テンソルaTの成分は

　　

となる。

 

テンソルの演算法則

a、bを任意の実数、T、S、Uをテンソルとするとき、次の演算法則が成り立つ。

　　

特に、

　　

ということで、(−1)S=−Sとあらわすことにする。

また、（ⅱ）から

　　

 

これらはほとんど明らかだろう。

だから、（ⅰ）と（ⅱ）だけ、略証（？）を与えることにする。

 

 

§２　対称テンソル、交代テンソル、転置テンソル

 

テンソルTの成分に関して

　　

が成り立つとき、Tを対称テンソルという。

行列で表せば、対称テンソルは

　　

の形、すなわち、対称行列になる。

 

テンソルTの成分に関して

　　

が成り立つとき、Tを交代テンソル（反対称テンソル）という。

したがって、テンソルの対角成分T₁₁、T₂₂、T₃₃は

　　

となる。

よって、交代テンソルの成分を行列で表せば、

　　

の形、すなわち、交代行列になる。

交代テンソルの成分は交代行列だから、

　　

とあらわすことができる。

したがって、任意のベクトルに対してとすれば、yの成分は

　　

となり、とおけば

　　

したがって、

　　

となる。

このようにして作られたベクトルは普通のベクトルとは異なる性質を持つので、軸性ベクトルと呼ばれる。

 

問１　テンソルTが対称、かつ、交代テンソルであるとき、Tは零テンソルであるをことを示せ。

【略解】

テンソルTの成分をとすると、対称テンソルだから

　　

さらに、交代テンソルだから

　　

（略解終）

 

問２　任意のテンソルは対称テンソルと交代テンソルの和に分解できることを示せ。

【解】

テンソルTの成分をとし、

　　

とおくと、

　　

となり、Sは対称テンソル、Aは交代テンソルである。

　　

よって、任意のテンソルは対称テンソルと交代テンソルに分解できる。

（解答終）

 

第１回 テンソルとは

第１回　テンソルとは

 

空間内の任意のベクトルxに対して値が定まり、その値がベクトルである関数T(x)があるとする。

関数Tが、任意のベクトルx、y、任意の実数aに対して、つぎの線形条件

　　

を満たすとき、Tを（２階の）テンソルという。

なお、上の線形条件（１）と次の条件（２）とは同値である。

任意の実数a、b、任意のベクトルx、yに関して

　　

である。

 

今後、空間に設置した座標系O-xyzのx軸、y軸、z軸をそれぞれx₁軸、x₂軸、x₃軸とあらわすことにし、その基本ベクトルをとする。

ベクトルの成分を

　　

とすると、

　　

である。

このとき、

　　

をテンソルTの座標系O-x₁x₂x₃に関する成分といい、をTの(i,j)成分という。

 

は、

　　

と表せるので、とすると、

　　

ゆえに、とすれば、

　　

すなわち、

　　

である。

行列を用いてかけば、

　　

である。

 

また、テンソルTの成分をとすると、（４）式より

　　

である。

 

問１　任意のベクトルxに対してであるテンソルの成分は単位行列

　　

である。これを単位テンソルといい、記号Iなどであらわす。

【解】

（４）とより

　　

したがって、テンソルの成分は

　　

（解答終）

【別解】

より、

　　

したがって、（９）より

　　

よって、

　　

（解答終）

問２　任意のベクトルxに対してであるテンソルの成分は零行列

　　

である。これを零テンソルといい、記号０であらわす。

【略解】

より。

よって、

　　

（略解終）

 

 

問３　ベクトルが与えられたとき、任意のベクトルxに対してA×xを対応させる、すなわち、

　　

となるテンソルTの成分を求めよ。

【解】

とすると、

　　

したがって、

　　

よって、テンソルの成分は

　　

である。

（解答終）

 

タグ：テンソル

無限遠点でのローラン展開

無限遠点でのローラン展開

 

§１　無限遠点でのローラン展開

関数f(z)においてz=1/ζとおいて得られるζの関数を

　　

とし、φ(ζ)のζ=0において得られる状態をf(z)のz=∞（無限遠点）における状態と定義することにする。

 

問１　との無限遠点∞における状態を調べよ。

【解】

とおくと、

　　

となり、ζ=0はφ(ζ)の２位の極となるから、z=∞はf(z)の２位の極である。

とおくと、

　　

したがって、

　　

よって、ζ=0はφ(ζ)の真性特異点だから、z=∞はの真性特異点。

（解答終）

 

無限遠点∞がf(z)の孤立特異点であるとする。このとき、十分大きなR>0を選ぶと、でf(z)は正則になる。したがって、無限遠点∞の定義より

　　

はで正則である。

よって、φ(ζ)はζ=0のまわりで

　　

ただし、Cはζ=0を中心とするの円である。

φ(ζ)=f(z)だから、m=−n、とおいて、

　　
という展開式が得られる。

（１）を∞まわりのローラン展開という。

 

問２　関数のすべての特異点を求めよ。また、その各々を中心とするローラン展開を求めよ。

【解】

とする。

z=1は１位の極で、z=1まわりのローラン展開は

　　

z=1/ζとおくと

　　

となり、ζ=0はφ(ζ)の１位の極だから、z=∞はf(z)の１位の極。

｜z｜<1のとき

　　

だから、

　　

また、｜z｜>1のとき

　　

だから、

　　

よって、z=∞まわりのローラン展開は

　　

（解答終）

 

§２　無限遠点での留数原理

無限遠点∞がf(z)が孤立特異点または正則点であるとき、f(z)は∞まわりでローラン展開が可能である。すなわち、

　　

この展開におけるの係数の符号を変えたもの、すなわち、を∞におけるf(z)の留数といい、やなどであらわす。

したがって、

　　

ここで、Γは有限のところにあるf(z)の内部にある特異点をすべてふくむ閉曲線である。

留数定理と（３）より、ただちに、次の定理が得られる。

 

定理１

f(z)が無限遠点を含めた全平面でただだか有限個の特異点しか持たないとき、有限のところにあるすべての特異点をとすれば、

　　

 

また、留数の定義より

 

定理２

が有限確定であれば、

　　

 

問３　つぎの値を求めよ。

　　

【解】

　　

また、定理２より

　　

の零点をとすると、定理１より

　　

（解答終）

タグ：複素解析

［境界積分の積分公式（ラプラス型）］

［境界積分の積分公式（ラプラス型）］

　・・・という訳で、「岩波数学公式集」です(^^)。一つの境界要素k上でのラプラス型の境界積分は、次の形の積分計算が出来れば良いのでした。t＝c－sとして（cとsは図-2参照）、

　　

ここでn≧0は整数です。

　(1)に部分積分を使えば、

　　

になるので結局、式(2)のu_n+2(t)がわかればOKです。

 

　そこで突然ですが、形式的に次の等比数列の和、

　　

 

を考えます。

　pは何でも良いので、p＝－t²/h²とすれば、

　　

となり、順次変形して行けば、

　　

が得られます。

　両辺にtをかければ、

　　

です。

　n＝0，1，・・・だったので、

　　2(n＋1)　 ＝2，4，6，・・・

　　2(n＋1)＋1＝3，5，7，・・・

となり、(4)，(5)を式(2)に代入した姿を想像すれば、u₀(t)とu₁(t)さえ計算できればOKとわかります。

　　

なので、

　　

です。

 

　これらを式(3)に代入して、

　　

　　

を得ます。

 

　v₀(t)とv₁(t)については、式(3)，(8)，(9)から計算すれば、

　　

となります。

 

　ところで境界上の未知関数ψ^*(c)，q^*(c)を線形近似した場合、v₀(t)，v₁(t)とu₀(t)，u₁(t)があれば良いのでした(^^)。
これらは既に計算してあるので、後はこれらを、c＝0→L_kについて定積分化するだけです。

 

　t＝c－sでした。またhとsは、境界要素kの配置と特異点(ξ，η)の位置だけで決まり積分に対して定数なので、積極的理由のない限り出来るだけそのままの形で使用した方が便利です。そうすると図-2より、例えば、

　　

が得られます。ここにγ₁，γ₂は、図-2に示したc＝0とc＝L_kの時のr＝r₁，r₂の方向（角度）です。同様に、

　　

　　

が得られます。

（執筆　ddt³さん）

これは、ネムネコのひとりごとです。

　　

の積分は、次のように置換積分を使ったほうがよいでしょう。

　　

したがって、

　　

 また、

　　

タグ：境界要素法 数値解析