ワンポイントゼミ６ 極大と極小

ワンポイントゼミ６　極大と極小

極大、極小の定義

関数f(x)が点x=x₀においてとる値f(x₀)がx₀の近傍（x₀を含む十分小さな開区間）で、x≠x₀ならばf(x₀)>f(x)（f(x₀)<f(x)）であるとき、f(x)はx=x₀で極大（極小）といい、f(x₀)を極大値（極小値）という。極大値、極小値をあわせて極値という。

 

問１　定義域をa≦x≦b（a<b)とする定数関数f(x)=cがある（cは定数）。

f(x)が極大、極小になる点とその値を求めよ。

【答】

極大、極小になる点、極大値、極小値は存在しない。
（おしまい）

x₀≠xならばf(x₀)>f(x)=c（f(x₀)<f(x)=c）である点x₀がx₀∈[a,b]に存在しない――そのような点x₀が存在するとすれば、f(x₀)>c（f(x₀)<c）になってしまい、f(x₀)=cに矛盾する――。したがって、この場合、極大値、極小値とも存在しない。

問２　実数全域で定義された次の関数f(x)がある。

　　

f(x)の極値を求めよ。

【答】

f(x)は

　　

この関数の概形は次の通り。

x=−1の十分に近いところにおいて、x≠−1ならばf(x)>f(−1)=0が成立するので、x=−1で極小。

x=1の十分に近いところにおいて、x=1ならばf(x)>f(1)=0が成立するので、x=1で極小。

x=0の十分に近いところにおいて、f(x)<f(0)=1だから、f(x)はx=0で極大。

したがって、

極小値0　（x=±1）

極大値0　（x=0）

（おしまい）

関数が微分可能であるとき、極値をとる点aでは、かならず、f'(a)=0でなければならない。

問２の関数は、x=±1以外では微分可能で、その導関数f'(x)は
　　
だからx=0でf'(0)=0となり、この条件を満たしている。

しかし、x=±1で、f(x)は微分可能でないから、この条件を満たしていない。そもそも、導関数f'(x)はx=±1で定義されていない。

また、f(x)=x³は実数全域で微分可能であるけれど、f'(x)=3x²=0となる点x=0で極値をとらない。

このことから、f'(a)=0という条件は、微分可能な関数f(x)がx=aで極値をもつための十分な条件でないことがわかる。f'(x)=0という条件は、微分可能な関数f(x)が極値を持つために満たさなければならない、必要な条件にすぎない！！


ひとつ質問をするが、

　　

のx=±1における接線の方程式は？

赤と青で示されている直線がこの曲線の接線？
それとも、これとは違う他の直線。
あるいは、接線は存在しない(^^)

タグ：微分積分

３次方程式２

３次方程式２

問題１　３次方程式x³+px+q=0が重複解をもつとき、

　　

なる関係があることを証明せよ。

【解】

f(x)=x³+px+qとおき、３次方程式f(x)=x³+px+q=0の重複解をαとすると、

　　

であり、

　　

f(x)を微分すると

　　

したがって、

　　

③より

　　

①より

　　

④と⑤より

　　

（解答終わり）

②の微分のところでは、次の微分公式を使っている。

　　

問題２　３次方程式x³+px²+q=0が重複解をもつとき、pとqにはどのような関係があるか。

【解】

f(x)=x³+px²+qとおき、αを重複解とすると、

　　

よって、

　　

②より
　　

（１）　α=0のとき、①よりq=0。

（２）　のとき、これを①に代入すると

　　

よって、

4p³+27q=0、または、q=0。

（解答終わり）

ちなみに、p=q=0のときは、３重解でx=0が解。

問題３　a、b、cが相異なる実数で、

　　

のとき、ab+bc+caの取りうる範囲を求めよ。

一見すると、３次方程式とは関係なさそうな問題ですが・・・。

【解】

　　

とすると、

　　

これが成立するのは、次の３次方程式

　　

が相異なる３つの実数解をもつということ。

３次方程式の解と係数の関係より、

　　

①はx=0を解に持たないので、

　　

①は②と同値。

　　

とおくと、

　　

よって、f(t)はで極小値をとる。

　　

f(x)のグラフは次のようになる。

f(x)=kの実数解の個数とy=kとy=f(x)の交点の個数は等しいので、相異なる③つの実数解をもつためには

　　

したがって、

　　

（解答終わり）

次のように、y=x³+1とy=kxとの交点の数を調べて、kの範囲を定めてもよい。。

曲線y=x³+1上の点(t,t³+1)における接線の方程式は

　　

これが原点を通るとすると
　　

この時の傾きは

　　

したがって、y=kxがy=x³+1とに接するとき

　　

よって、y=kxとy=x³+1の交点の数、つまり、x³−kx+1=0の実数解の個数が３のとき、

　　

ワンポイントゼミ５ 問題４の別解

ワンポイントゼミ５　問題４の別解

記事「３次方程式」の問題４の別解を紹介する。こちらのほうが素直な解答。

問題４　３次関数y=x³+4x²+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。

【解】

f(x)=x³+4x²+kx−18とおくと、f'(x)=3x²+8x+k。

f(x)がx軸と接するから、接点のx座標をαとすると、f(α)=0、f'(α)=0でなければならない。

　

②より

　　

これを①に代入すると

　　

g(α)=α³+2α²+9とすると、g(−3)=0。よって、g(α)はα−(−3)=α+3を因数に持つ（註・因数定理）。

したがって、

　　

α=−3を③に代入すると、

　　

（解答終わり）

このように解いてもよい。

【註】

因数定理

整式f(x)がx−aを因数にもつ必要十分な条件はf(a)=0である。

g(−3)=0だから、因数はx−（−3)=x+3。

x−3ではないので、注意！！

タグ：微分積分

３次方程式

３次方程式

問題１　x³+x−8=0は、ただ１つの実数解を、1と2の間にもつことを示せ。

【解】

f(1)=−6、f(2)=2だから、中間値の定理より、f(x)=0を満たすxが1<x<2に存在する。

f(x)=x³+x−8とすると、

　　

f(x)は単調増加。

したがって、f(x)=x³+x−8=0を満たす実数解は、1と2の間にただ一つである。

（解答終わり）

問題２　３次方程式x³+x²−x+a=0の実数解の個数がaの値によってどう変わるか調べよ。ただし、重複解は１つと数える。

【解】

x³+x²−x+a=0の実数解は

　　

とy=aとの共有点のx座標である。

①式を微分すると

　　

したがって、増減表は

x	…	−1	…	1/3	…
y'	−	0	＋	0	−
y	減少	−1	増加	5/27	減少

したがって、

a>5/27、a<−1のとき、実数解は１個

a=5/27、a=−1のとき実数解は２個（重複解が１つ）

−1<a<5/27のとき実数解は３個

（解答終わり）

問題３　３次方程式2x³+3x²−12x+a=0が重複解をもつようにaの値を定めよ。また、そのときの解を求めよ。

問題２と同じように、y=−2x³−3x²+12xとy=aの共有点の個数を調べてもいいが、次のように解くこともできる。

【解】

f(x)=2x³+3x²−12x+aとすると、

　　

よって、f'(x)=0の解はx=−2、x=1。

したがって、f(x)=0とf'(x)=0が共通解をもつならば、x=−2またはx=1でなければならない。

（１）　x=−2が重複解の場合

　　

このとき、

　　

よって、x=−2（重複解）、x=−5/2である。

（２）　x=1が重複解のとき

　　

このとき

　　

よって、x=1（重複解）、x=−7/2

（解答終わり）

【別解１】

f(x)=2x³+3x²−12x+a=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、

　　

これを微分すると、

したがって、

　　

でなければならない。

（１）　α=−2のとき

aは

　　

（２）　α=1のとき、

（別解１終わり）

微分を使わずに、次のように解くこともできる。

【別解２】

αを重複解、βをもうひとつの解とする。

　　

左辺と右辺の係数を比較すると、

　　

①より

　　

これを②に代入すると

　　

（１）　α=−2のとき

（２）　α=1のとき

（別解２終わり）

問題４　３次関数y=x³+4x²+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。

【解】

y=x³+4x²+kx−18がx軸に接するということは、３次方程式x³+4x²+kx−18=0が重複解をもつということ。

３次方程式x³+4x²+kx−18=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、

　　

解と係数の関係より

　　

①より

　　

これを③に代入すると

　　

よって、α=−3。

③より

　　

②より

　　

（解答終わり）

ワンポイントゼミ４ 微分を用いて、整式を(x−a)²で割った余りを求める

ワンポイントゼミ４　微分を用いて、整式を(x−a)²で割った余りを求める

問題　f(x)を２次以上の整式とする。

（１）　f(x)を(x−a)²で割ったときの余りが

　　

であることを証明せよ。

（２）　f(x)がf(x)を(x−a)²で割り切れるための必要十分条件がf(a)=f'(a)=0であることを証明せよ。

（３）　x⁷−2x+4を(x−1)²で割った余りを求めよ。

【解】

（１）　f(x)をf(x)を(x−a)²で割った商をQ(x)、余りをpx+qとすると

　　

xで微分すると、

　　

①、②にx=aを代入すると、

　　

④よりp=f'(a)、これを③に代入すると、

　　

よって、余りは

　　

である。

（２）

【⇒の証明】

（１）より、f(x)を(x−a)²で割ったときの余りは

　　

仮定より、f(x)を(x−a)²で割り切れるので、f(x)を(x−a)²で割ったときの余りは０である。

したがって、

　　

でなければならない。

これが任意のxについて成り立つので、

　　

⑤より、f'(a)=0。

⑥より

　　

したがって、f(a)=0、f'(a)=0である。

【逆の証明】

f(x)を(x−a)²で割ったときの余りは

　　

仮定より、f(a)=0、f'(a)=0。

したがって、

　　

以上のことより、

f(x)がf(x)を(x−a)²で割り切れるための必要十分条件がf(a)=f'(a)=0である。

（３）

　　

よって、

　　

（１）より、余りは

　　

（解答終わり）

 

　　

をxで微分するとき、次の微分公式を使っている。

　　

この公式を使うと、

　　

(x−a)²の微分で、もう一度、微分公式を用いると、

　　

したがって、

　　

となる。

もちろん、

　　

と計算してもよい。

また、同様の議論から、

　　

　　――n=2のとき、こうなることを確かめよ――

したがって、F(x)が整式であるとき、y=F(ax+b)をxで微分すると

　　

話を元に戻すが、

問題より、f(x)が整式であるとき、f(x)=0が重複解（重根）を持つための必要十分な条件は

　　

が共通解を持つことである。

タグ：微分積分

剰余の定理と因数定理、そして、解と係数の関係

剰余の定理と因数定理、そして、解と係数の関係

§１　剰余の定理

剰余の定理

整式f(x)をx−aで割った余り（剰余）はf(a)である。

【証明】

多項式f(x)をx−aで割った商をQ(x)、余りをRとすると、

　　

したがって、

　　

（証明終わり）

問　x²−3x+4をx−1、x−2で割った余りを求めよ。

【解】

f(x)=x²−3x+4とおく。

剰余の定理より、

f(x)をx−1で割った余りR₁は

　　

x−2で割った余りR₂は

　　

（解答終わり）

 

問題１　xについてある整式をx−2で割ると5余り、x−3で割ると8余るという。この整式を(x−2)(x−3)で割った余りを求めよ。

【解】

xについての整式をf(x)、(x−2)(x−3)で割った商をg(x)、余りをax+bとする（※）。

題意より

　　

x−2で割った余りが5だから、①より

　　

x−3で割った余りが8だから、①より

　　

②、③を解いてa=3、b=−1。

よって、余りは3x−1である。

（解答終わり）
（※）　整式f(x)を２次式(x−2)(x−3)で割った余りは、高々１次式なので、その余りをax+bと置くことができる。

§２　因数定理

因数定理

整式f(x)がx−aを因数にもつ必要十分な条件はf(a)=0である。

【証明】

f(x)をx−aで割った商をQ(x)、余りをRとする。

（必要条件の証明）

　　

f(x)はx−aを因数にもつので、R=0。

したがって、

　　

（十分条件の証明）

　　

上式にx=aを代入すると、

　　

仮定よりf(a)=0だから、R=0。

よって、f(x)はx−aで割り切れ、f(x)はx−aを因数にもつ。

（証明終わり）

問　次の方程式を解け。

　　

【解】

f(x)=x³−3x²−4x+12とおくと、

　　

よって、x³−3x²−4x+12はx−2を因数にもつ。

x−2でf(x)を割ると、商はx²−x−6。

だから、
　　

よって、この方程式の解はx=±2、3である。

（解答終わり）

§３　２次方程式と３次方程式の解と係数の関係。

（１）　２次方程式の解と係数の関係

２次方程式の一般形は

　　

この解をα、βとすると、因数定理より

　　

となる。

したがって、

　　

となり、この恒等式が成立する条件から
　　

これを２次方程式の解と係数の関係という。

問題　２次方程式x²−10x+c=0の２つの実根αとβの間にβ=α³の関係が成立するとき、cの値を求めよ。

【解】

解と係数の関係より

　　

問題の条件よりβ=α³だから、
　　

f(α)=α³+α−10とするとf(2)=0。

よって、

　　

したがって、α=2。

　　

（解答終わり）

（２）　３次方程式の解と係数の関係

３次方程式の一般形は

　　

この解をα、β、γとすると

　　

よって、この恒等式の右辺と左辺を比較すると
　　

という３次方程式の解と係数の関係が得られる。

問題　方程式x³+ax²+bx−12=0が根3および3と異なる実根をもつとき、重根およびa、bの値を求めよ。

【解】

3と異なる実根をαとすると、解と係数の関係より

　　

③より

　　

①、②より

　　

だから、

α=2のとき、a=−7、b=16

α=−2のとき、a=1、b=−8

（解答終わり）

(a+b)²−(a−b)²をどうやって計算する？

一つ質問するけれど、

　　

をどうやって計算する？

真面目に展開して、

　　

と計算するかい？

それとも、

　　

という公式を使って、

　　

と計算するかい？

この場合は、①の方が楽だけれど、今日のワンポイントゼミ３にでてきた

　　

だと、どうですかね？

あなたは、これを真面目に展開して計算しますか。

オレは、頭の中で、②を使って、

　　

と、頭の中で計算したけれど――頭の中でこんな丁寧な計算しない。「コレとこれが消えて、アッチはアレが消えて」という漠然としたイメージで計算処理――

①の結果、

　　

は、半ば公式のようなもので、③を覚えている人は

　　

とすぐに計算できますがね。

⑧をバカ正直に展開して計算するヒトは、⑨未満と呼ばれてもしょうがない！！

憶えた知識をうまく活用できないのだから、⑨未満と呼ばれてもしょうがないだろう？

そう、思わないかい？

⑨のチルノですら、間違っているけれど、自身の知識を活用している！！

ワンポイントゼミ３ 球の体積

ワンポイントゼミ３　球の体積

半径rの円の体積Vは

　　

このことを定積分を使って求めることにする。

【方法１】

原点Oを中心とする半径rの半円は

　　

これをx軸のまわりに回転して得られる立体は球で、この体積Vとすると

　　

（おしまい）

　　

は偶関数だから、偶関数の定積分の性質から

　　

である。

途中計算でこれを使っている。

【方法２】

原点を中心とする球の方程式は

　　

x=t（−r≦t≦r）での断面（※）は

　　

したがって、平面x=tで切り取られる球の断面は(t,0,0)を中心とする半径の円（の円周とその内部）である。

この断面の面積S(t)は

　　

したがって、球の体積Vは

　　

（おしまい）

方法２の定積分は、方法１の計算のxがtに変わっているだけなので、計算しないけれど、このように計算することもできる。

（※）　x=±rにおける球の断面（？）を半径0の円とみなしている。

厳密には

　　

とすべきところなのだろうが・・・。

 

問題　半径rの円

　　

をx軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。ただし、l≧rとする。

【解】

　　

より、

　　

そこで

　　

とする。

求める体積は、薄い水色で示されている、y₁とx軸とで囲まれている領域を回転してできる立体の体積から、斜線部で示されているy₁とx軸とで囲まれている領域を回転してできる立体の体積を引いたもの。

したがって、

　　

となる。

　　

は、原点Oを中心とする半径rの半円の面積だから、

　　

これを①式に代入すると、

　　

（解答終わり）

注目して欲しいのは、この結果。

　　

問題の円を

　　

とすると、πr²はCの面積、2πlはCの重心G――円なので重心と中心は同じ――をx軸を中心にしてグルリと一周させたときに描く軌跡の長さ。

⑨より、問題で求めた円環体の体積Vは

　　円環体の体積V＝（円Cの重心が回転により描く軌跡の長さ）×（円Cの面積）

になっていることがわかる。

これは偶然のことか(^^)

タグ：微分積分

体積の問題２

体積の問題２

問題１　異なる２つの放物線y=x²、y=(1−a²)x²+aが交わるとき、これらで囲まれる図形をy軸のまわりに回転してできる回転体の体積は、aの値にかかわらず一定であることを証明せよ。ただし、a>0とする。

【解】

異なる２つの放物線の交点のx座標は

　　

交点のy座標はy=1/a。

（１）　0<a<1のとき、体積Vは

　　

（２）　a>1のとき

　　

よって、体積Vはaの値にかかわらず一定で、その値はπ/2である。

（解答終わり）

問題２　曲線y=√xと直線y=mxとで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体とy軸のまわりに回転できる立体とが同じ体積になるようにmの値を定めよ。

【解】

y=√xとy=mxの交点のx座標は

　　

交点は(0,0)、(1/m²,m)。

　　

だから

　　

（解答終わり）

問題２　図のように、AC=1、BC=3とし、DEはA、Bを中心とし点Cで外接する２円の共通接線である。∠ABE=60°であることを示し、斜線をつけた部分CDEをABのまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】

Cを原点Oにとり、Aを(−1,0)、Bを(3,0)にとる。
Aから直径BEに垂線をおろし、垂線の足をHとする。
四角形ADEHは長方形。

したがって、EH=AD=1。

よって、

　　

AD=4だから

　　

Eのx座標は

　　

Dのx座標は

　　

Dのy座標は

　　

直線の傾きは

　　

したがって、直線DEの方程式は

　　

以上のことより、求めるべき体積Vは

　　

（解答終わり）

タグ：微分積分

ワンポイントゼミ２ ｘ切片とｙ切片

ワンポイントゼミ２　ｘ切片とｙ切片

図に示すように、xy平面上に直線l:px+qy+r=0（p≠0、q≠0）があるとする。

このとき、直線lとx軸の交点のx座標が（直線lの）x切片、y軸との交点のy座標をy切片という。

つぎに、このときの、x切片とy切片を求めることにする。

直線l上の点はすべてpx+qy+r=0を満たす。

　　

直線lとx軸、つまり、y=0との交点（のx座標）がx切片。

したがって、この交点のx座標をaとおくと、この交点の座標は(a,0)になるので、①式にx=a、y=0を代入して得られる方程式を解くと

　　

同様に、直線lとy軸、つまり、x=0との交点のy座標をbとおくと、

　　

したがって、直線l:px+qy+r=0（p≠0、q≠0）のx切片、y切片は

　　

x切片a、y切片b（a≠0、b≠0）である直線の方程式を求めることにする。

x切片がaだから、x=a、y=0を①に代入すると、

　　

y切片がbだから、x=0、y=bを①に打入し

　　

したがって、直線lの方程式は

　　

r=0のとき、px+qy=0で、この直線は原点Oを通ることになり、a≠0、b≠0と矛盾する。したがって、r≠0。

r≠0だから、②式の両辺をrで割り、

　　

問　次の直線の方程式を求めよ。

（１）　x切片２、y切片３の直線

（２）　２点、(0,2)、(0,3)をとおる直線

実は、（１）と（２）は同じことを言っている。そして、この答えは③より
　　

無理に覚える必要はないけれど、③式はおぼえておくと、何かと便利である。

より一般に、y=f(x)とx軸との交点のx座標をx切片、y=f(x)とy軸との交点をy切片という。

図に示すように、曲線y=f(x)の場合、点A、B、Cのx座標が曲線y=f(x)のx切片であり、点Dのy座標が曲線y=f(x)のy切片である。

この図、その定義から明らかであるけれど、曲線y=f(x)のx切片は方程式

　　

の実数解（実根）である。

タグ：微分積分