相似の演習編 ちょっとむずい問題

相似の演習編　ちょっとむずい問題

相似を使ったすこし難しい問題を解いてみることにします。

まずは、この問題から。

問題１　図のように、直角三角形BC（BC=a、AC=b）内に、正方形S₁、S₂、S₃、・・・が並んでいるとき、

（１）　S₁の１辺の長さをa、bであらわせ。

（２）　S₁、S₂、S₃、・・・の面積が等比数列をなすことを示せ。

【解】

（１）　△ABC∽△DBEだから

　　

（２）　△DBEと△ABCの相似比は

　　

面積比は相似比の２乗だから

　　

同様に、

　　

・・・

よって、は初項

　　

公比

　　

の等比数列である。

（解答終わり）

大学入試の答案に書くのならば、もっと、きちんと書かないといけないのだろうけれど、ねこ騙し数学は大学受験を対象にしたものでないから、これでいいにゃ。

この問題にはないけれど、

　　

となる。a=2、b=1のときは、前にやったのだけれど、一致しているはずだにゃ。

なのですが、（１）についてうまい方法がある。

【別解】

DとCを直線で結ぶ。そうすると、

 　　

となり、

　　

補助線と三角形の面積を考えると、相似を使わなくても解ける・・・。

そして、

　　

なんか、どっかで出てきた式のような気が。
書いただけだにゃ。

問題２　正５角形ABCDEの対角線BEがAC、ADと交わる点をP、Qとする。
（１）　△ABE∽△PAB、△BAQ∽△APQを証明せよ。

（２）　AB=aとするとき、PQの長さを求めよ。

【解】

（１）　正５角形の一つの内角は108°。また、一辺の長さは、それぞれ等しいので、

　　△ABE≡△BCA　　（２辺挟角）

よって、

　　∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=36°

したがって

　　△ABE∽△PAB

また、

　　∠BAQ=APQ=72°

　　∠ABQ=∠PAQ=36°

よって、

　　△BAQ∽△APQ

（２）　PQ=xとおく。

　　AQ=AP=BP=BQ−PQ=AB−PQ=a−x

また、△BAQ∽△APQより

　　

これを解くと

　　

x<aなので、

　　

（解答終わり）

なのだけれど、

前回やったので、ネムネコたちは、正五角形の一辺と対角線の比が

　　

であることを知っている。

そして、四角形BCDQは平行四辺形なので、BQ=CD=aだケロ。

このことを使うと、

⑨から

　　

となり、

　　

と求めることもできるのであった。

こういうふうに解くことができるという話です。
ねこ騙し数学の記事を受験生が読んでいるとは思わないけれど、試験のとき、こんなふうに解いては駄目だケロよ。

タグ：数列 級数 初等幾何

相似の演習編　ちょっとむずい問題

相似を使ったすこし難しい問題を解いてみることにします。

まずは、この問題から。

問題１　図のように、直角三角形BC（BC=a、AC=b）内に、正方形S₁、S₂、S₃、・・・が並んでいるとき、

（１）　S₁の１辺の長さをa、bであらわせ。

（２）　S₁、S₂、S₃、・・・の面積が等比数列をなすことを示せ。

【解】

（１）　△ABC∽△DBEだから

　　

（２）　△DBEと△ABCの相似比は

　　

面積比は相似比の２乗だから

　　

同様に、

　　

・・・

よって、は初項

　　

公比

　　

の等比数列である。

（解答終わり）

大学入試の答案に書くのならば、もっと、きちんと書かないといけないのだろうけれど、ねこ騙し数学は大学受験を対象にしたものでないから、これでいいにゃ。

この問題にはないけれど、

　　

となる。a=2、b=1のときは、前にやったのだけれど、一致しているはずだにゃ。

なのですが、（１）についてうまい方法がある。

【別解】

DとCを直線で結ぶ。そうすると、

 　　

となり、

　　

補助線と三角形の面積を考えると、相似を使わなくても解ける・・・。

そして、

　　

なんか、どっかで出てきた式のような気が。
書いただけだにゃ。

問題２　正５角形ABCDEの対角線BEがAC、ADと交わる点をP、Qとする。
（１）　△ABE∽△PAB、△BAQ∽△APQを証明せよ。

（２）　AB=aとするとき、PQの長さを求めよ。

【解】

（１）　正５角形の一つの内角は108°。また、一辺の長さは、それぞれ等しいので、

　　△ABE≡△BCA　　（２辺挟角）

よって、

　　∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=36°

したがって

　　△ABE∽△PAB

また、

　　∠BAQ=APQ=72°

　　∠ABQ=∠PAQ=36°

よって、

　　△BAQ∽△APQ

（２）　PQ=xとおく。

　　AQ=AP=BP=BQ−PQ=AB−PQ=a−x

また、△BAQ∽△APQより

　　

これを解くと

　　

x<aなので、

　　

（解答終わり）

なのだけれど、

前回やったので、ネムネコたちは、正五角形の一辺と対角線の比が

　　

であることを知っている。

そして、四角形BCDQは平行四辺形なので、BQ=CD=aだケロ。

このことを使うと、

⑨から

　　

となり、

　　

と求めることもできるのであった。

こういうふうに解くことができるという話です。
ねこ騙し数学の記事を受験生が読んでいるとは思わないけれど、試験のとき、こんなふうに解いては駄目だケロよ。

番外編 ちょっと不思議な三角形の辺の長さを三角関数と相似を使って求める

番外編　ちょっと不思議な三角形の辺の長さを三角関数と相似を使って求める

次の図に示すような頂角が３６°、底角７２°の二等辺三角形があるとする。

この時の、AB、BCの長さ１として、底辺の長さBCを、初等幾何の知識だけを使って求めてみることにするにゃ。

こんなの簡単だ。答えは

　　

というのは、なしだケロ。

じゃ〜、sin16°の値はということになるんで(^^)

「⑨ネコ、疲れているんじゃないか。この値は、正弦関数の５倍角の公式を使えば、簡単に出てくるじゃないか。」

18×5=90だから、確かに、５倍角の公式（？）を使えば出てくる。

　　

あるいは、ド・モアブルの公式を使って

　　

などを使って、力任せに解くことは出来る。

正弦関数の５倍角の公式はちょっと見当たらなかったけれど、余弦関数は

　　

になるらしい。

5θ=90°とすると、

　　

になるから、x=cosθとおいて、

　　

さらに、と置くと

　　

を解けば、t=cos²θが出て、

　　

を使えば、確かにsin16°は求められる。

実はウマイ方法がある。

5θ=90°だから、2θ=90°−3θ

　　

また、

　　

だから

　　

ここでお馴染みのcos²θ=1−sin²θを使い、さらに、t=sinθとすると

　　

となり、sin16°>0だから

　　

となる。

よって、問題のxは

　　

である。

だけれど、これは相似を使うと、中学生でも求められるんだケロ。

∠Bの二等分線とACの交点をDとする。∠Bの二等分線なので、

　　∠DBA=∠CBD=72°/2=36°=∠A

になる。

だから、△ABDは二等辺三角形。

また、

　　△ABD∽△ABC

で、△ABDも二等辺三角形でBC=BD=xとなる。

△ABDも二等辺三角形なので、AD=BD=x。

だから、CD=1−xとなる。

また、△ABD∽△BCDだから、

　　

そして、この値は、黄金比

　　

の逆数なんだケロ。

嘘じゃないケロ。

　　

になるにゃ。

さらに言うと、この三角形は正五角形と深い関係があるのであった。

そして、この問題は、正五角形の対角線の長さを求めるのとほとんど同じ問題であったのであった。

タグ：初等幾何 三角関数

番外編　ちょっと不思議な三角形の辺の長さを三角関数と相似を使って求める

次の図に示すような頂角が３６°、底角７２°の二等辺三角形があるとする。

この時の、AB、BCの長さ１として、底辺の長さBCを、初等幾何の知識だけを使って求めてみることにするにゃ。

こんなの簡単だ。答えは

　　

というのは、なしだケロ。

じゃ〜、sin16°の値はということになるんで(^^)

「⑨ネコ、疲れているんじゃないか。この値は、正弦関数の５倍角の公式を使えば、簡単に出てくるじゃないか。」

18×5=90だから、確かに、５倍角の公式（？）を使えば出てくる。

　　

あるいは、ド・モアブルの公式を使って

　　

などを使って、力任せに解くことは出来る。

正弦関数の５倍角の公式はちょっと見当たらなかったけれど、余弦関数は

　　

になるらしい。

5θ=90°とすると、

　　

になるから、x=cosθとおいて、

　　

さらに、と置くと

　　

を解けば、t=cos²θが出て、

　　

を使えば、確かにsin16°は求められる。

実はウマイ方法がある。

5θ=90°だから、2θ=90°−3θ

　　

また、

　　

だから

　　

ここでお馴染みのcos²θ=1−sin²θを使い、さらに、t=sinθとすると

　　

となり、sin16°>0だから

　　

となる。

よって、問題のxは

　　

である。

だけれど、これは相似を使うと、中学生でも求められるんだケロ。

∠Bの二等分線とACの交点をDとする。∠Bの二等分線なので、

　　∠DBA=∠CBD=72°/2=36°=∠A

になる。

だから、△ABDは二等辺三角形。

また、

　　△ABD∽△ABC

で、△ABDも二等辺三角形でBC=BD=xとなる。

△ABDも二等辺三角形なので、AD=BD=x。

だから、CD=1−xとなる。

また、△ABD∽△BCDだから、

　　

そして、この値は、黄金比

　　

の逆数なんだケロ。

嘘じゃないケロ。

　　

になるにゃ。

さらに言うと、この三角形は正五角形と深い関係があるのであった。

そして、この問題は、正五角形の対角線の長さを求めるのとほとんど同じ問題であったのであった。

第１１回 相似３

相似３

問題１　△ABCの∠Aの外角の２等分線が辺BCの延長と交わる点をDとすれば

であることを証明せよ。



【解】

Cを通りADに平行な直線と辺ABの交点をFとする。

だから

　　∠FCA=∠DAC　（錯角）

　　∠CFA=∠EAD　（同位角）

よって、△AFCは二等辺三角形。

　　AF=AC

また、

　　

だから、

　　

よって、

　　

（証明終わり）

なので、前回の問題と合せて、次の定理が成立する。

定理　△ABCにおいて、∠A（またはその外角）の２等分線が対辺（または、その延長線）と交わる点をDとすると、

　　AD:AC=BD:CD

である。

問題２　である台形ABCDがある。ABをm:nに内分した点をMとし、MからADに平行線を引きDCとの交点をNとするとき、次の等式を証明せよ。

　　

【解】

（１）

　　

だから

　　

（２）　対角線ACとMNの交点をLとする。

△ABCと△AMLの相似比はm+n:mなので

　　

△CDAと△CNLの相似比はm+n:nなので

　　

よって、

　　

（問題終わり）

まさかと思うけれど、なぜ、△ABC∽△AMLになるのかはわかるよね？

MLとBCが平行なので、

　　∠AML=∠ABC　　（同位角）

　　∠MLA=∠BCA　　（同位角）

　　∴　△ABC∽△AML

問題３

　　

で、AB=a、CD=b、PQ=cであるとき、次の関係が成り立つことを示せ。

　　

【解】

ABとCDが平行なので

　　∠PAB=∠PCD

　　∠PBA=∠PDC

　　∴　△PAB∽△PCD

△PAB∽△PCDだから

　　

また、

　　

よって
　　

（証明終わり）

上の証明では、△PAB∽△PCDを証明しているけれど、

　　

から、平行線と線分の比の関係を用いて

　　

としてもいいにゃ。

問題３のcは

　　

や

　　

で求められるという話で、これを使うと、前回の問題は

　　

と求めることができる。

で、さらにAとDを直線で結び、QPの延長線とADの交点をOとする。

そうすると、

　　

なので、

　　

となり、これは何かというとaとbの調和平均と呼ばれるものだにゃ。

これまでに、相加平均、相乗平均が出てきたにゃ。

a>0、b>0のとき

　　

そして、

相加平均≧相乗平均

　　

だにゃ。

新たに出てきた調和平均と相加平均、相乗平均の大小関係ですが、相乗平均/調和平均は

　　

なので、相乗平均≧調和平均となり、
a>0、b>0のとき

　　

となるのであった。

問題１　△ABCの∠Aの外角の２等分線が辺BCの延長と交わる点をDとすれば

であることを証明せよ。



【解】

Cを通りADに平行な直線と辺ABの交点をFとする。

だから

　　∠FCA=∠DAC　（錯角）

　　∠CFA=∠EAD　（同位角）

よって、△AFCは二等辺三角形。

　　AF=AC

また、

　　

だから、

　　

よって、

　　

（証明終わり）

なので、前回の問題と合せて、次の定理が成立する。

定理　△ABCにおいて、∠A（またはその外角）の２等分線が対辺（または、その延長線）と交わる点をDとすると、

　　AD:AC=BD:CD

である。

問題２　である台形ABCDがある。ABをm:nに内分した点をMとし、MからADに平行線を引きDCとの交点をNとするとき、次の等式を証明せよ。

　　

【解】

（１）

　　

だから

　　

（２）　対角線ACとMNの交点をLとする。

△ABCと△AMLの相似比はm+n:mなので

　　

△CDAと△CNLの相似比はm+n:nなので

　　

よって、

　　

（問題終わり）

まさかと思うけれど、なぜ、△ABC∽△AMLになるのかはわかるよね？

MLとBCが平行なので、

　　∠AML=∠ABC　　（同位角）

　　∠MLA=∠BCA　　（同位角）

　　∴　△ABC∽△AML

問題３

　　

で、AB=a、CD=b、PQ=cであるとき、次の関係が成り立つことを示せ。

　　

【解】

ABとCDが平行なので

　　∠PAB=∠PCD

　　∠PBA=∠PDC

　　∴　△PAB∽△PCD

△PAB∽△PCDだから

　　

また、

　　

よって
　　

（証明終わり）

上の証明では、△PAB∽△PCDを証明しているけれど、

　　

から、平行線と線分の比の関係を用いて

　　

としてもいいにゃ。

問題３のcは

　　

や

　　

で求められるという話で、これを使うと、前回の問題は

　　

と求めることができる。

で、さらにAとDを直線で結び、QPの延長線とADの交点をOとする。

そうすると、

　　

なので、

　　

となり、これは何かというとaとbの調和平均と呼ばれるものだにゃ。

これまでに、相加平均、相乗平均が出てきたにゃ。

a>0、b>0のとき

　　

そして、

相加平均≧相乗平均

　　

だにゃ。

新たに出てきた調和平均と相加平均、相乗平均の大小関係ですが、相乗平均/調和平均は

　　

なので、相乗平均≧調和平均となり、
a>0、b>0のとき

　　

となるのであった。

第１０回 平行線と線分の比

第１０回　平行線と線分の比

§１　相似な三角形と線分の比

定理

三角形ABCにおいて、辺BCに平行な直線、AB、ACまたはそれらの延長と交わる点をD、Eとすると、

 　　

である。

定理

またはならばである。

DEとBCが平行なので、∠ADE=∠B、∠DEA=∠Cとなり、△ABC∽△ADE。

よって、

　　

となる。

したがって、

　　

逆については、∠Aを共通（または対頂角）にしていて、この角を挟む線分の比が等しいので、△ABC∽△ADEとなり、このことから、∠ADE=∠B、∠DEA=∠C、つまり、同位角が等しいので、DEとBCは平行である。

あるいは、Dを通り、ACに平行な直線とBCの交点をFとする。
そうすると、△ADE∽△DBFになるので、

　　

となり、DF=ECなので、

　　

となる。

補助線一本で解決する。このあたりが初等幾何の醍醐味だにゃ。

問題１

下の図でAC、BD、EFはそれぞれ平行である。x、y、zの値を求めよ。

【答】

x=2,y=4.5, z=1.4

 

問題２

下の図で

　　

である。

QPの値を求めよ。

【解】

有名問題のようで、高校入試によく出るらしい。

△APB∽△PDC

　　

よって、

　　

だから、

　　

この問題については、次回でもう一度取り上げ、詳しい話をするにゃ。

問題３　ADは∠BACの二等分線である。

　　

であることを示せ。

【証明】

DAとCEは平行なので、

　　∠CAD=∠ACE　（錯角）

　　∠CAB=∠CEA　（同位角）

よって、△ACEは二等辺三角形で、

　　AC=AE

したがって、

　　

【別解】

θ=∠BAC/2とする。

　　

また、△ABDと△ADCは高さが同じ。

よって、

　　

よって、

　　

§２
平行線と比例

定理　ならば

　　

証明は補助線一本。

　　

タグ：初等幾何

番外編 微分積分 難しい問題（？）を解くネムネコ（暫定版）

番外編　微分積分　難しい問題（？）を解くネムネコ（暫定版）

問題　区間0≦x≦1における関数

　　

について、次の問いに答えよ。ただし、n≧3の自然数とする。

（１）　f(x)=0は、0<x<1において、ただ一つの解を持つことを証明せよ。

（２）　上の解をαとするとき、およびを求めよ。

（３）　与えられた区間における曲線y=f(x)と、x軸およびy軸とで囲まれた部分の面積をとするとき、を求めよ。

【解】

（１）

　　

で、かつ、f(x)は連続な関数なので、f(x)=0となるxが0<x<1に存在する。

また、

　　

となり、f(x)は単調減少関数。

よって、f(x)=0は0<x<1において、ただ一つの解を持つ。

（２）

　　

そして、0<α<1なので

　　

で、

　　

なので、ハサミ打ちの定理より

　　

また、

　　

（３）

　　

よって、

　　

（解答終わり）

とか、解けばいいんじゃないか。

ちったぁ〜、ネムネコのことを見直したケロか？

タグ：微分積分

番外編 相似と無限級数の応用問題

番外編　相似と無限級数の応用問題

いきなり、問題！！

問題　図のように、∠C=90°、BC=2、CA=1の直角三角形に内接する正方形の辺の長さaを求めよ。

【解】

∠Bは共通。また、∠BC₁A₁=90°

△ABC∽△A₁BC₁

よって、
　　

（解答終わり）

このことから、△ABCと△A₁BC₁の相似比が3:2であることがわかるにゃ。

これでオシマイじゃ〜ない。

本題は、これからだにゃ。

本題　図のように、∠C=90°、BC=2、CA=1の直角三角形内に正方形S₁、S₂、S₃、・・・が際限なく並んでいる。

このとき、

　　

の値を求めよ。

【解】

問題から正方形S₁と正方形S₂の相似比が2/3であることがわかる。

だから、相似な図形の面積比は相似比の２乗だから

　　

である。

同様に、

　　

つまり、S₁、S₂、S₃、・・・という数列は初項S₁で公比4/9<1の等比級数。

よって、

　　

（解答終わり）

初項a、公比rの数列の一般項は

　　

で、

タグ：数列 初等幾何 級数

第９回 相似

第９回　相似

§１　相似

一つの図形を形を変えずに一定の割合で拡大、縮小した時に、その図形はもとの図形と相似であるという。

相似な図形では、

（１）　対応する辺の長さの比は全て等しい

（２）　対応する角の大きさはそれぞれ等しい

図に示してある△ABCと△DEFは、

　　

であり、かつ、

　　∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F

だから△ABCと△DEFは相似であり、△ABC∽△DEFであらわす。

§２　相似の中心

相似な図形の対応する点どうしを結ぶ直線がすべて1点Oで交わり、その点から対応する点までの距離の比がすべて等しいとき、その点Oを相似の中心とよび、それらの図形は相似の位置にあるという。

相似の位置にある図形は相似である。

§３　三角形の相似条件

定理　２つの三角形は、次の条件のどれか一つが成り立てば相似である。

１　３組の比がすべて等しい

２　２組の辺の比とその辺の間の比が等しい

３　２組の角の比が等しい

２だけ証明（？）するにゃ。

　　

の条件を満たす△ABCと△DEFがあるとする。

で、

　　

となるよう、AB、ACの延長線（または、AB、AC）上にB'、C'をとって、△AB'C'を作る。

そうすると、三角形の合同条件から

　　△AB'C'≡△DEF

よって、

　　△ABC∽△DEF

ちなみに、k>1のとき拡大であり、k<1のとき縮小。

こういった話でございます。

§４　問題

問題１　下図において、∠ACD=∠B、AC=8、CD=9、BC=12である。

（１）　△ACDと△ABCは相似である。その相似比を求めよ。

（２）　線分ADの長さを求めよ。

（３）　線分ABの長さを求めよ。

【解】

（１）　∠Aは共通。そして、∠ACD=∠Bなので、

　　△ACD∽△ABC

相似比は

　　

（２）　分数のほうが好きなので・・・

　　

（３）

　　

 

問題２　次の図で、∠A=∠R、AD⊥BC、BEは∠Bの二等分線である。△ABEと△ABFと相似な三角形を見つけよ。



【答え】

　　△ABE∽△DBF、△ABF∽△CBE

 

問題３　ACの長さを求めよ。

【解】

△ABCと△DBAに注目。

∠Bは共通。

　　

よって、２組の辺の比とその辺の間の比が等しいので

△ABC∽△DBA

相似比は３：２なので

　　

タグ：初等幾何

第８回 問題演習

第８回　問題演習

問題１　次の図のxをa、b、cを用いてあらわせ。

【解】

外角定理より

　　

問題２　線分AB上に点Cをとり、正三角形ACD、CDEをかき、AとE、BとDを結ぶ。

△ACE≡△DCBであることを証明せよ。

【解】

　　AC=DC

　　CE=CB

　　∠ACE=∠DCB　（∵　∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠CBE=∠DCB）

よって、

　　△ACE≡△DCB

ちなみに、△ACDと△CDEは正三角形なので、∠ACD=∠CBE=60°

問題３

平行四辺形辺BCの延長上の点をEとし、∠DCEと∠CDEの二等分線が辺ADまたはその延長上で交わるてんをそれぞれF、Gとする。DF=DGであることを証明せよ。

【解】

仮定より、

∠BCF=∠FCD

また、BCとADは平行なので

　　∠DFC=∠BCF=∠FCD

よって、△DFCは二等辺三角形で

　　DF=DC　　①

同様に、

　　∠DCG=∠CGD

よって、

　　DC=DG　　②

①、②より

　　DF=DG

問題４

AB=ACである二等辺三角形ABCで、AC上に点をとると、AD=DB=BCであった。

（１）　BDは∠Bの二等分線であることを証明せよ。

（２）　∠Aの大きさを求めよ。

【解】

（１） a=∠Aとする。

AD=DBなので△DBAは二等辺三角形で、

　　∠DBA=∠A=a

外角定理より

　　∠CDB=2a

また、DB=DCなので

　　∠C=∠CDB=2a

さらに、AB=ACなので

　　∠B=∠C=2a

よって、BDは∠Bの二等分線である。

（２）　∠A+∠B+∠C=a+2a+2a=5a=180°

よって、

　　∠A=a=36°

問題５

平行四辺形ABCDの∠Dの二等分線と辺AB、BCまたはその延長との交点E、Fとする。

（１）　∠AED=30°ならば、∠ABCは何度か。

（２）　AE=BCであることを示せ。

【解】

（１）　AEとDCは平行であり、錯角は等しいから

　　

平行四辺形の対角は等しいので

　　∠ABC=∠D=60°

（２）　∠E=∠ADE

よって

　　AE=AD=BC

問題はここまでなのですが、これで終ったら、ちょっとつまらないな。

（３）　AD=9、FC=6のとき、ABの長さを求めよ。

答えは6だにゃ。

タグ：初等幾何

第７回 中点連結定理の続きと共線

第７回　中点連結定理の続きと共線

ネムネコの持っている高校生向けの受験参考書に次のような定理が出ている。

定理A

の台形ABCDにおいて、辺AB、CDの中点をM、Nとすると、
　　

定理B

の台形ABCDにおいて、辺ABの中点をとおり、底辺BCに平行な直線は、対辺の中点Nを通る。

前回やった中点連結定理、中点連結定理２の台形バージョンというべき定理。

証明自体は、ACに対角線一本を引けば、簡単に（？）証明できる。

定理Aの証明



ACの中点Lをとる。

△ABCに注目すると、中点連結定理より、

　　

となる。

△ACDに注目すると、中点連結定理より

　　

①、③より、M、L、Nは同一線上に存在し、

　　

②、④より

　　

（証明終わり）

 

①、③から下線を引いた、M、L、Nが同一線上に存在するということがポイントなんだケロ。

ひょっとしたら、こうかもしれないから。

今、求めたものは青い線で示されるMLとLNで、台形のAB、CDの中点MNを結んだ直線と違うかもしれない。

だから、アンダーラインを引いた部分、M、L、Nが同一線上であるという部分は、この証明において必要なんだケロ。

そして、このことは①と③から保証される。

共線

③つ以上の点が同一線上にあるとき、これらの点は共線であるといい、これらの点を共線点という。

M、L、Nが共線点であることを証明しないといけない。

この場合は、

平行線の公理

直線外の１点をとおり、直線に平行な直線はただ１つである

によって共線であるとこと、共線点であることが保証される。

何故ならば、

線分ML、線分LNは、点Lを通、BC（AD）に平行な直線上にあるから。

もし、MLとLNが同一直線上になければ、MLを延長した直線と、LNを延長した直線はLを通るBCに平行な直線となり、Lを通りBCに平行な直線が２本あることになり、平行線の公理に反してしまう。だから、共線である。

ほとんど明らかだけれど、うるさいことを言うと、共線であることを証明しないといけない、もしくは、明言しないといけない。

中学、高校の初等幾何の教科書を持っていないので、ハッキリしたことは言えないのだけれど、このあたりは視覚に頼っているようで、結構、いい加減なようだ。

そして、次のような問題が出ると、パニクる(^^ゞ

問題

台形ABCDの平行でない２辺、AB、CDの中点をそれぞれP、Q、AB、CDの中点をそれぞれ、R、Sとするとき、次の問題に答えよ。

（１）　P、S、R、Qは同一線上にあることを示せ。

（２）　次のことを証明せよ。

　　

【解】

（１）　△ABCに注目。中点連結定理より、

　　

同様に、△ABDで

　　

△DBCで

　　

△ACDで

　　

よって、P、S、R、Qは同一線上にある。

（２）　記号AD〜BCを説明すると、これは

　　AD〜BC=|AD−BC|

のことで、AD>BCのときは

　　AD〜BC=AD−BC

で、AD≦BCのとき

　　AD〜BC=BC−AD

になる。

この問題の場合、ABとDCは平行でないのでAB≠DCとなり、AD>BCとAD<BCで場合分けしないといけないのだけれど、図のようにBC>ADの場合だけを証明するにゃ。
△ABCに注目。中点連結定理より

　　

△ABDに注目すると

　　

よって、

　　

まっ、そういうことで。

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第６回 中点連結定理

第６回　中点連結定理

定理９　中点連結定理

△ABCにおいて

辺AB、ACの中点をそれぞれM、Nとすれば

逆も成り立つ。



【証明】

証明は、次の図のようにMNを２倍に延長し、その端点をLとし、MとC、AとLを直線で結ぶ。

仮定より、

　　MN=NM

　　AN=NC

よって、四角形AMCLの対角線を互いに２等分しており、四角形AMCLは平行四辺形。

四角形AMCLは平行四辺形だから、

　　LCとAMは平行でかつAM=LC。

LCはAMに平行だから、MNにも平行。

また、仮定より

　　MB=AM=LC

よって、四角形MBCLは平行四辺形。

したがって、

　　

かつ

　　

（逆の証明）

　　

また、

　　

よって、四角形MBCLは平行四辺形。

　　

BAとCLは平行なので

　　∠AMN=∠LCM

　　∠NAM=∠NLC

また、

　　MN=LN

よって

　　△NAM≡△NCL

したがって

　　AM=CL=MB

　　AN=NC

ということで、

　　

ならば、MはACの中点、NはABの中点となり、証明された。

（証明終わり）

ベクトルによる証明は、循環論法の疑いがあり、証明になるかどうか怪しいけれど、

　　

よって、

　　

定理１０　中線連結定理２

△ABCにおいて

辺ABの中点MからBCに平行線をひけば、辺ACの中点を通る。

【証明】
辺ABの中点Mを通るBCに平行な直線とACの交点をNとする。

NをとおるABに平行な直線を引き、BCとの交点をLとする。

四角形MBLNは平行四辺形で、対辺の長さは等しいから、

　　NL=MB=AM

ABとNL、ACとMNは平行なので

　　∠NLC=∠B=∠AMN　（同位角）

BCとMNは平行なので

　　∠LCN=∠MNA　（同位角）

よって、

　　△AMN≡△NLC　（１辺と両端の角相等）

よって、

　　AN=NC

NはACの中点である。

（証明終わり）

例題

４角形の対角線の中点を結ぶ線分と対辺の中点を結ぶ線分とは互いに他を２等分することを証明せよ。

【証明】

４角形をABCDとし、図のように辺AB、BC、CDの中点をP、Q、R、Sとする。また、対角線AC、BDの中点をそれぞれM、Nとする。
SがADの中点、NがBDの中点であるから、

　　

また、MがACの中点、QがBCの中点だから

　　

よって

　　

よって、４角形SNQMは平行４辺形。

ゆえに対角線SQとMNとは互いに他を２等分する。

同様に、４角形PMRNは平行四辺形だから、PRとMNも互いを２等分する。

問題　平行四辺形ABCDの辺AD、BCの中点をそれぞれE、Fとすれば、BE、DFはACを３等分することを証明せよ。

【証明】

平行四辺形なので、

　　

故に、

　　

よって、四角形BFDEは平行四辺形。

したがって、

　　

△AHDに注目。

EはADの中点なので、中点連結定理２よりGはAHの中点。

よって、

　　AG=GH

△BCGに注目。

同様に、HはGCの中点で、

　　GH=HC

よって、

　　AG=GH=HC

したがって、BE、DFはACを３等分する。
（証明終わり）

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