第１８回 交代級数の収束・発散の判定 [ネコ騙し数学]
第１８回 交代級数の収束・発散の判定
級数
収束するけれど、絶対級数
は収束しない。このとき、級数を条件収束するというにゃ。
これまですべてのn に対して
の正項級数の収束の話をしてきたけれど、実際の級数には次のように正と負のの項を含む場合があるにゃ。
この級数のように、正→負→正・・・といったふうに交互に現われる級数のことを交代級数というにゃ。
交代級数の定義
のとき
のように符号が交互に現われる級数のことを交代級数という。
たとえば、
の場合は、公比が –1/2 で、この絶対値が1 より小さいので収束することはわかるけれど、 一般に交代級数の収束・発散の判定は難しいにゃ。
ちなみに、
ですから、
でしょうか。
冒頭部分で例としてあげた
の程度の簡単な級数でも、これが収束するのか、発散するのか、すぐには判断がつかないにゃ。困るにゃ。
ということで、次の定理。
定理 （ライプニッツの定理）
が単調減少数列で、
ならば、交代級数
は収束する。
この定理を使うと、
が収束することがすぐに分かるケロ。
とすれば、
は単調減少列で、
となるので、これは収束するにゃ。
問 次の級数は収束するか。判定するケロ。
とすれば、この交代級数が収束することがわかるケロ？
だけど、これの絶対級数（正項級数）
は収束しない。
で、
となることから発散する。
そして、このことから、条件収束をする級数は必ずしも絶対収束するとは限らないことがわかるにゃ。
問題 次の級数は絶対収束、条件収束するか？ 判定するケロ。
【略解】
（１）
とおき、前回の扱ったダランベールの判定法を用いると
よって、
は収束する。
絶対収束するので、当然、条件収束する。
（２）
だから、この級数は絶対収束しない。
は単調減少列で、
となり、ライプニッツの定理を満たすので、条件収束する。
ライプニッツの定理の証明
ライプニッツの定理の証明
とおくにゃ。
すると、
となるケロ。
ほいで、数列
は単調減少列なので、
となり、括弧の中の符号は＋。だから、
はn が大きくなれば増加するにゃ。
対して、
になるので、
はn が増えれば減少してゆく。
さらに、
だから、
となるにゃ。
ほいで、
となり、区間縮小法から
よって、この定理は証明された。
余談ですが、
ですにゃ。
ルパン三世のマモーの正体。それはプロテリアル安来工場で開発されたSLD-MAGICという高性能特殊鋼と関係している。ゴエモンが最近新斬鉄剣と称してハイテン製のボディーの自動車をフルスピードで切り刻んで、またつまらぬものを斬ってしまったと定番のセリフ言いまくっているようだ。話をもとにもどそう、ものづくりの人工知能の解析などを通じて得た摩耗の正体は、炭素結晶の競合モデル/CCSCモデルとして各学協会で講演されているようだ。
by グリーンサムライセンター (2023-08-03 19:55)
分野横断的な全体最適化がグローバルに行えるツールとしてDX化に対する重要な位置づけになると思われます。
by エキソエレクトロン (2023-09-25 02:28)
KPI競合モデルですか、大迫力ですね。
by 財務のプログラマー (2023-12-10 23:48)
材料物理数学再武装はアルゴリズム革命の理論駆動型からデータ駆動型への理解を深める講義資料としてビジネスセミナーなどにもちょくちょく出てきますね
by 軸受グループシナジー (2024-01-02 21:26)
文学、芸術、哲学、経営、経済学、人文学などでも、分野横断的といっていいほど色々な分野に影響を及ぼしているようですね。
by リベラルアーツ学派 (2024-01-20 15:31)
プロテリアルかあ。たたら製鉄や司馬遼太郎の歴史小説、特に技術者のはなしでは花神が感動的でしたね。
by 日本刀ファン (2024-01-20 15:53)
微分してゼロが最高峰か大局観があるよね。
by 文系ものづくり関係 (2024-02-11 02:30)
なにか、歴史的大転換のような様相を呈してきましたね。
by マテリアルズ・インフォマティクス関係 (2024-02-13 14:36)