第３１回 置換積分２

第31回　置換積分２

 

第12回の「三角関数の微分など（青い部分をクリックするケロ！！）」で合成関数の微分というものをやったケロ。

関数f = f(x)、x = φ(t)が微分可能であれば、その合成関数ｆ(φ(t))は微分可能で

というのをやったケロ。

で、この合成関数の微分を元にして、第２０回で置換積分（何度同じことを言わせる！！クリックするケロ）というのもやったにゃ。
置換積分の公式は、

あるいは、

だケロ。

 

であるならば、
積分区間の限界がa = φ(α), b = φ(β)のとき、、

になるんじゃないかという話ですにゃ。

定理

Ⅰ　a≦ｘ≦ｂを含む区間ｃ≦ｘ≦ｄでｆ(x)が連続

Ⅱ　φ(t)、φ'(t)がα≦ｔ≦βで連続で、ｃ≦φ(t)≦ｄ かつφ(α) = a、φ(β) = b

のとき、

この定理の証明は、

とおけば、

となり、F(φ(t))はF(φ(t))φ'(t) の原始関数。

また、α≦ｔ≦βでf(φ(t))、φ'(t) は連続なので、f(φ(t))・φ'(t)は連続となり積分可能。
よって、

仮定より、

F(b) – F(a) = F(φ(β)) – F(φ(α))　　　　(∵ b = φ(β), a = φ(α))

さらに、

より、

一応、証明はしたけど、証明の中身は分からなくていいケロ。

大切なのは、結果の

だにゃ。

証明したので、安心してこれを使えるにゃ。

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具体的な計算法

積分は計算が面倒なので、

を例に説明するにゃ。

t = 2x + 1と置くと、

積分区間の限界は

x = 0 のとき、t = 2×0 + 1 = 1

x = 1 のとき、t = 2×1 + 1 = 3

となるケロ。

t = 2x + 1だから、これをｘについて解けば、x = φ(t) = (t – 1)/2となり、

dx/dt = φ'(t) = 1/2

よって、①より

いやまぁ～、こんなのは置換積分を使うまでもなく、

と計算したほうが楽でしょうけれど・・・。

 

ですが、

となると、すこし事情が変わってくるケロ。

もちろん、
不定積分の置換積分を使って、

次の原始関数を求めて

これから、

としてもいいけれど、

どうせ置換積分を使うならば、

とした方が楽だケロ。

 

しか～し、定積分の計算の有り難味が出てくるのは、こんな計算じゃ～ない。

 

【例題１】　次の計算をするケロ。

【解答】

x = a・sint (0 ≦ t ≦ π/2) と置くと

x = 0, t = 0、x = a, t = π/2となる。

で、ねこ騙し数学公式集（悪いことは言わない、クリックするケロ！！）の倍角公式を見ると、

だから、

だから、

となるケロ。

 

実は、これ、円の面積の1/4。

というのは、
原点を中心とする半径ｒの円は

だから、

となるけるケロ。

で

というのは、円を4分割した一つとなる。この定積分は、ｙとｘ軸、x=0, x = a で囲まれた面積だから、この積分は4分割された半径aの円の面積を求めたことになる。

つまり、
小学校で習った謎の公式、オマジナイ

円の面積 = 円周率×半径×半径
が今ここで証明された！！

ということはだよ、
こんな面倒な計算をすることなく、

下の積分を見た瞬間に

と書いてもいいってことだケロ。

大学入試でも、計算問題以外では、まず減点されない！！

 

実は、

の原始関数は、原始関数の表に書いてあるので、これを使うという手もあるケロ。

ネムネコは、思いつきで、原始関数の表（仏の顔も三度までというぞ。クリックするケロ）や三角関数の公式をアップしたんじゃ～ない。

これには深い理由があったんだケロ。

だ・か・ら、

この表を見た奴は、ネムネコに足を向けて眠れなくなる、と書いたんだケロ。
読者の便益をはかるように、頑張ってんだ、ネムネコは。

 

言っておくけれど、

とかは、x = sin(y) とかの逆関数のことだからね。

という対応関係にある。
初等関数の微分の表と原始関数の表を見るときは、この点だけは注意して欲しいケロ。
―――クリック、クリック、クリック！！―――
 

では、次の問題。

 

【例題２】　次の定積分を求めるにゃ。

【解答】

x = tan(t) (0 ≦ t < π/2) と置くと、
積分区間の限界は

ｘ = 0のとき t = 0、

ｘ = 1のとき t = π/4

となる、

ここで、

を使っています。

も三角関数の公式に書いておけば良かったかな・・・。

はtanθの定義みたいなもんだし・・・。
　―――ひとつひとつ丁寧にリンクを貼り付けるのも大変なんだ。一度でもクリックしたケロか？―――

 

で、tanθ = 1 になるのは、sinθ = cosθの時だから、0 ≦ θ < π/2とすると、θ = π/4(rad) = 45°。
だから、x = 1のときにt = π/4となり、x = 0のときにx = 0となる。

微分積分などで使う角度の単位は「°」ではなく、弧度法のradなので、この点は注意してください。

ちなみに、

としてもいいケロ。

これが出ているのは、原始関数の表だ。お願いだから、クリックするケロ！！

なお、逆関数の定義から、

次回も置換積分を使って三角関数の定積分を計算します。

定積分の計算は、とにかく計算が長くなるので、
計算が苦手なネムネコは、あんまりやりたくないんだけれど。

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