表計算ソフトで数列の極限を

ねこ騙し数学　表計算ソフトで極限を

問題

で定められた数列は単調減少数列であることを証明せよ。

 

これを表計算ソフトで解こうじゃないかという企画です。

これは簡単で、

B2セルに数列の初期値1.5にいれ、
B3セルを「=(B2^2+2)/3」とする。
B4以降はこれを貼り付ければ、上のような表が得られるにゃ。
そして、これをn = 20 くらいまで計算させると、

であることわかるにゃ。

じゃあ、ならばどうなるかというと、これを表計算ソフトで計算させると、

になるんだにゃ。

　―――ちなみに、このときはB2 セルを 0 とするだけでいいケロ―――

 

で、ならば、これは計算するまでもなく、になるので、極限値は１だにゃ。

だと、になるので、極限値は2 だケロ。

 

じゃぁ、だと、

になる。

このことから、だと、

と予想できるにゃ。

そして、にすると、この数列は発散してしまう。

だ・か・ら、

ならば狭義の単調増加数列でその極限値が1になり、

ならば狭義の単調減少で極限値が1になる。

ならば恒等的にで、ならば。

で、ならば、発散してしまう。

こういう風に予想できるケロ。

 

と予想したところで、

問題を解くケロ。

なのだから、すべてのn∈N については明らかだケロ。

で、

さらに、n = k – 1 のときと仮定すると、

n = kのとき

よって、数学的帰納法より、数列は単調減少である。

で、

で与えられる数列の極限値が1 になることは

は単調減少なので、

となり、これと⑨から

となる。

で、

となるので、はさみうちの定理より

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