第１２回 コーシー・リーマンの関係式

第１２回　コーシー・リーマンの関係式

複素関数w=f(z)の微分可能性、正則性を判定する便利な（？）定理を紹介しますにゃ。

定理

f(z)が領域Dで定義された関数であるとき、

　　
とおく。

f(z)が領域Dにおいて正則であるための必要十分な条件は、uとｖがDにおいて全微分可能で、

　　
が成り立つことである。

証明は、結構、大変だにゃ。

【必要性】
f(z)は正則（微分可能）なので、

　　

が存在する。

で、Δz=Δx+iΔyとすると、

　　

となるにゃ。

こういう言い方はちょっとインチキなんだけれどΔy=0とすると

上の式は

　　

となる。

同様に、Δx=0とすると、

　　

となる。

このことから、

　　

【十分性】

uとvの偏導関数が連続、つまり、全微分可能であるとすると

　　
となる。

で、コーシー・リーマンの関係式を使うと

　　

故に、

　　

だから、微分可能。

―――十分性の証明は高木貞治の『解析概論』からパクったにゃ。真面目にやろうとすると、式が長くなって大変なんだケロ―――

欲しいのは、コーシー・リーマンの関係式だにゃ。
そして、

　　

という結果だにゃ。

前回、は微分可能じゃないというのをやったにゃ。このとき、u=x、v=−yとなるので、

　　

となって、コーシー・リーマンの関係式を満たさない。

では、問題を一つ。

問題１　はz=0で微分可能だが、正則でないことを示せ。

【解】

　　

よって、

　　

となる。
よって、uとｖの偏導関数は連続なので全微分可能であり、また(x,y)=(0,0)において

　　

となるので、(0,0)で微分可能。
しかし、z=0以外では微分可能でないから、正則でない。

問題２　次の関数の微分可能性を論じるケロ。　

　　

【解】

これが微分可能で正則であることは前回やっているんだけれど、コーシー・リーマンの関係を使って証明してみるにゃ。

　　

となるにゃ。

だから、

　　

になる。
そして、これらの偏導関数は連続なので、uとｖは全微分可能。

また、

　　

となって、コーシー・リーマンの関係を満たすにゃ。

よって、定義域の全点で微分可能であり、正則である。

ちなみに、この微分は

　　

となり、

　　

という微分公式にn=2としたものと一致している。

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