第３２回 ちょっと、数列の復習

第３２回　ちょっと、数列の復習

次回から、複素数の数列をやりますので、このイントロとして少しだけ数列の復習をしますにゃ。

まず、ε-δ論法を思い出してもらうために、次の問題をやってみるにゃ。

問題１　任意の正数εに対して

　　０≦a＜ε
であるならば、a=0であることを示すケロ。
【解】
a=0が０≦a＜εを満たすことは明らか。
で、
a≠０と仮定する。すると、条件よりa>0。
εは任意の正数なのでε=a/2と置くと、

　　0<a<a/2
となる。
　―――εは任意の正数だから、0より大きいどんな値を選んでも良い！！―――
で、a<a/2を解くとa<0となり、a>0と矛盾する。（a>0ならば、そもそも、a<a/2は成立しない！！この時点で既におかしい）
―――あるいは、a<0かつa>0となり、a=0以外の解は存在しない、とか・・・―――
よってa=0である。

εは任意の正数だから、

　　
としてもいいよね。
こうすると、

「任意の自然数nに対して

　　
ならばa=0である」
となる。

それでは、数列の極限で使われるε-N論法の話をするにゃ。
かりに、次のような数列があったとする。

　　
nの値を大きくしていけば、の値がドンドンと、限りなく１に近づいていくことはわかると思うにゃ。
実際に、n=1,10,100,1000とすれば、2、1.1、1.01、1.001となるから。

このことを、極限の記号を使うと、

　　
や

　　
と書くにゃ。
　―――記号「∞」は、「無限大」の意味。でも、記号「∞」は数ではないにゃ。数だと思ってはいけないにゃ―――

でも、数学では「どんどん近づく」とか「限りなく近くなる」という文学的な表現を嫌うにゃ。これは曖昧だというわけだにゃ。

ということで、現代的な数学では、次のように表現するにゃ。

任意の正数εに対して、適当な自然数Nをとると、n>Nの全てのnに対して

　　
となるとき、aを数列の極限という。
あるいは、

任意の正数εに対して、ある自然数Nが存在して、

　　

と定義したりするにゃ。

これがε-N論法と呼ばれる大の嫌われモノ。

例に上げた

　　
だと、極限値aは1になるので、

　　
となるにゃ。

でだ、仮にε=1/10とすれば、

　　

となるにゃ。

だから、N=10とすれば、

　　
になるにゃ。
今はN=10にとったけれど、N=11、N=20でも、N=100でも、構わないゃ。
同様に、ε=1/100ならば、N=100に取れば、

　　

となる。この時、N=101、N=200でもN=10000でも構わない。
与えられたεに対して「n>Nならば、1/n<εが成り立つ」Nを見つけらればいい。

今はεの逆数が自然数になったから簡単だったけれど、εは実数だから、たとえば、

　　

みたいなやつだと、ちょっと、厄介だにゃ。電卓でも使わないことには、Nを探しだすことは難しいケロ(^^ゞ
電卓を使うと、
　　

になるので、N=13>1/εにすれば、いいにゃ。

そうすると、

　　

になってくれるケロ。

だけれども、数学にはガウス記号という便利なものがあるにゃ。
このガウス記号[]を使うと、

　　

上の式を見るとわかるけれど、Nはεによって値が変わるんだにゃ。εによって、Nの値が決まると言ってもいい。
このことをあらわすために、特に、N=N(ε)と書くことがあるにゃ。

ガウス記号[x]は、xを越さない最大の整数mのことで、式で書くと
　　m≦[x]<m+1
となるケロ。

　　12≦[12.198]<12+1=13
になるので、この値は１２になる。
x≧0ならば、小数点以下を切り捨てたものになるにゃ。

x<0のときは、例えば、x=−3.5として、[ｘ]、つまり、[−3.5]の値を求めて欲しいにゃ。

ちなみに、この値は−４だからね。−３じゃないよ。
だって、−３は−3.5より大きいから。−３．５を越さない最大の整数は−４だケロ。

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