第３４回 複素級数

第３４回　複素級数

複素級数をやる前に、複素数列の収束の判定に必要なコーシの収束条件を紹介しますにゃ。実数列の場合の証明はしてあるので、定理として紹介しますにゃ。

定理１（コーシーの収束条件）

数列が収束すための必要条件は、任意の正数εを与えたとき、ある自然数Nが存在して、m>N、n>Nであるすべてのm、ｎにに対して

　　
が成り立つことである。

複素級数

数列が与えられたとき、

　　
のように各項を加えたものを（複素）級数といい、

　　
とあらわし、を級数の第ｎ項という。

　　
を級数の第ｎ項までの部分和という。
は有限個の数の和であるから数として意味を持ち、新しくという数列を考えることができる。
数列がSに収束するとき、級数はSに収束するといい、

とかく。またSをの和という。が収束しないとき、は発散するという。

形式的にと書いてあるだけで、これは部分和の数列の極限のことだにゃ。実際に無限個の項を足し合わせたものじゃ〜ない。


では、簡単な問題を一つ。

問題１　｜ｚ｜<1のとき、次の値を求めよ。

　　
【解】
n項までの部分和を求めると

　　

となる。

｜ｚ｜<1だから、

　　
になるので、

　　

となる。

実は、なのかという微妙な問題を含んでいるのだが・・・。

「ちょっと待った、⑨ネコ！！　何で｜ｚ｜<1のとき、

　　
なんて言えるんだ？」

「これは、
　　
だからだケロよ。」

それで、

　　
とするにゃ。

そうすると、数列の時と同じように、複素級数がSに収束することと、２つの実級数がそれぞれuとｖに収束することが同じだということになる。

ところで、複素級数に冒頭で述べたコーシーの収束条件を用いると、次の定理が得られる。

定理２　（コーシーの収束条件）

級数が収束するための必要十分条件は、任意の正数εを与えたとき、ある自然数Nが存在して、n>Nであるすべてのnおよびすべての自然数pに対し、

　　
が成り立つことである。

定理１と見た目が違うようですが、n>N、m=n+p>Nとすると、

　　

となるにゃ。

系　級数が収束するならば、であり、また、すべてのnに対してとなる定数Mが存在する。

【証明】

前半のに関しては、定理２のpをp=1とすると、任意の正数εに対してn>Nで
　　
となるから。

これで証明になっている(^^ゞ

あるいは、

　　

でもいいにゃ。

後半は、が収束するならばになるので、任意の正数εに対して

　　

となるNが存在する。

ε=1とすると、n>Nで

　　

となる。

つまり、n=N+1,N+2, …で

　　

となる。

一方、

　　

は有限個の数の集まりだから、かならず最大値がある。この最大値Lとすると、

　　
となる。

で、Lと｜1の大きい方（正確には小さくない方）をMとすれば、すべてのnに対して

　　
となる。

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